Схема гибели и размножения. Формула Литтла

система дифференциальных уравнений

После преобразований получаем

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях

Pn₀(0)=1, P_n(0)=0, n=/n0

частотными методами с использованием преобразования Лапласа.

После преобразований уравнений Колмогорова очевидно, что вероятности того, что система не изменит свое состояние P(nn), не влияют на вероятности состояний (образуют в уравнениях пару слагаемых с противоположными знаками). Поэтому в дальнейшем на графах переходов мы будем указывать только вероятности переходов типа Pn,n+1 и Pn,n-1 и указывать только интенсивности переходов. Тогда в общем случае для марковских систем мы получаем граф переходов следующего вида:

Здесь каждое из средних состояний связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний. Такой граф называется схемой гибели и размножения. Найдем один раз и навсегда для этой схемы вероятности состояний установившегося режима.

E0: 0=-λP₀+µ₁P₁ или P₁=P₀λ₁/µ₁

E1: 0=λ₁P₀+µ₂P₂-(λ₂+ µ₁)P₁

отсюда P₂=P₁λ₂/μ₂ аналогично

En: 0=λ_nP_n-1+µ_n+1P_n+1,-(λ_n+1+ µ_n)P_n, отсюда P_n=P_n-1λ_n/µ_n.

Преобразуем

Учитывая, что получаем

и

Полученные формулы мы будем в дальнейшем использовать для расчета вероятностей состояний различных СМО.