Свойства и характеристики простейшего потока

Простейшим или пуассоновским потоком называется стационарный, ординарный поток без последействия.

Простейший поток подчиняется пуассоновскому закону распределения где λ - интенсивность потока; k - количество событий, появляющихся за время t.

Простейший поток можно задать функцией распределения промежутка между соседними вызовами F(t)=P(z<t)=1-P(z>t), P(z>t) равносильна вероятности того, что в промежутке длиной t не поступит не одного вызова. F(t)=P(z>t)=1- P₀ (t)=1-

Данный закон распределения случайной величины называется показательным.

Свойства и характеристики простейшего потока:

а) для простейшего потока математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение величины промежутка z равны между собой MZ= σz=1/λ;

б) Математическое ожидание и дисперсия числа вызовов i за промежуток времени t равны между собой Mi=Di= λt.

Совпадение этих величин используют на практике при проверке реального потока для соответствия его простейшему.

14. Процесс обслуживания как Марковский процесс. Уравнение Колмогорова – Чепмена.

Пусть система может находиться в состояниях En, где n = 0,1,2,… - в системе находится n заявок. Обозначим вероятность нахождения системы в конкретном состоянии En’ в момент времени t через Pn(t). Очевидно, что для каждого t.

Если переход из состояния En в En’ зависит только от этих состояний и не зависит от предыдущих Ei, то такая последовательность во времени будет марковским процессом.

То есть случайный процесс в протекающей системе называется марковским (или процессом без последействия) если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t0) зависит только от настоящего (t=t0) и не зависит от состояния системы в прошлом (t<t0).

Таким образом, система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляет собой случайный процесс Маркова. Каждой паре состояний En,En’ можно поставить в соответствие условную вероятность Pnn’ того, что система находится в состоянии n’ в момент t+1 при условии, что в момент t она находилась в состоянии n.

Очевидно, что для вероятности Pn’(t+1) можно написать

формула Калмагорова – Чепмена.

Это уравнение означает, что система может оказаться в состоянии n’ путем одного из многих n несовместных переходов. Причем вероятность нахождения системы в состоянии n’ при условии, что ранее система находилась в состоянии n, по формуле произведения вероятностей событий равна Pn(t)Pnn’. Если Pnn’ равна нулю, то переход из состояния n в n’ невозможен.