Общее правило составления уравнений Колмогорова

В левой части уравнения стоит производная вероятности i-го состояния; в правой части - сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.

Построим по этому правилу систему дифференциальных уравнений

После преобразований получаем

.

Эти уравнения могут быть решены при начальных условиях

Pn₀(0)=1,

Pn(0)=0, n=\n₀ (не равно)

частотными методами с использованием преобразования Лапласа.

Чаще интересуются установившимся или стационарным режимом, для которого справедливо dPi(t)/dt=0

В этом случае система дифференциальных уравнений преобразуется в систему линейных уравнений:

0=-λP₀+µP1

0=λP₀+µP₂-(λ+µ)P₁

0= λP_n-1+µP_n+2- (λ+µ)P_n

отсюда P1=λP₀/µ, P₂=P₀(λ/µ)^2, P_n=P₀(λ/µ)^n

Учитывая, что получаем =>

Параметр выражает степень насыщения в системе и называется загрузкой или коэффициентом использования СМО. Для одноканальных СМО при ψ>1 установившегося режима не существует, очередь растет неограниченно.

Установившийся режим не зависит от начальных условий. Получим некоторые числовые характеристики установившегося режима.