![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
5.1. Пусть - стохастический базис.
Определение. Согласованный случайный процесс со значениями в
называется возрастающим, если почти все его траектории непрерывны справа и не убывают. Множество возрастающих процессов обозначим через
.
Из определения возрастающего процесса следует, что:
а) возрастающий процесс имеет левый предел,
б) существует случайная величина Р - п. н.
5.2. Определение. Будем говорить, что согласованный процесс имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,T], обозначаемую через Var
, если для любого разбиения
отрезка [0,T] Р - п. н. конечна величина Var
, где П - множество разбиений отрезка [0,T].
Определение. Через W обозначим множество непрерывных справа, имеющих левый предел случайных процессов таких, что почти каждая его траектория имеет ограниченную вариацию на любом компактном множестве из.
Теорема 23. Согласованный случайный процесс тогда и только тогда, когда
для
, где
. (Докажите самостоятельно).
Теорема 24. Пусть - возрастающий процесс. Тогда существует единственное разложение вида
, где
- непрерывный возрастающий процесс (т. е. предсказуемый), а
- опциональный случайный процесс. Если
- предсказуемый процесс, то
- предсказуемый процесс.
Доказательство. Разложение - следует из теоремы Лебега. Из доказательства теоремы 21 следует, что существует последовательность марковских моментов
, которая исчерпывает скачки процесса
. Обозначим
,
, где
. Ясно, что при каждом п процесс
- возрастающий. Значит
- возрастающий и непрерывен справа. Если
, то
- непрерывный возрастающий процесс. Поскольку
- непрерывен справа и согласован, то в силу теоремы 15 он опционален. Доказательство закончено.
5.4. Обозначим через - множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е.
, если
. Через
обозначим множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е.
, если M Var
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!