Свойства. 2. свойство дистрибутивности или

1. свойство коммутативности скалярного произведения ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

8 Векторное произведение векторов и его св-ва.

Векторным произведением двух векторов и , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор , что

· он является нулевым, если векторы и коллинеарны;

· он перпендикулярен и вектору и вектору ();

· его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними ();

· тройка векторов ориентирована так же, как и заданная система координат.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение есть определитель квадратной матрицы где первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора , а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат:
,

1. антикоммутативность ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число.

9 Смешанное произв. Вектр.и его св-ва

Смешанным произведением трех векторов и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов и , где - векторное произведение векторов и .

Векторное произведение в координатах имеет вид

а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно

сумме произведений соответствующих координат, поэтому

свойства смешанного произведения:

1.
;

2.
;

3.

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

10 Условия колинеарности,компл и ортогонал.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Для компланарности трех векторов и трехмерного пространства необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам ( радиан).

Для перпендикулярности двух ненулевых векторов и необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство

необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет вид на плоскости, а в трехмерном пространстве .

11 Уравнение плоскости в Пространстве

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом:

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x ₀, y ₀, z ₀), то ее уравнение можно привести к виду

a (x – x 0) + b (y – y 0) + c (z – z 0) = 0.

Уравнение

называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Нормаль к плоскости имеет координаты

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ = 0, то угол между плоскостями равняется

Расстояние от точки (x ₀; y ₀; z ₀) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d = 0, равно

12 Уравнения прямой в пространстве

§ Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), — радиус-вектор произвольной точки прямой.

§ Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

§ Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки лежащей на прямой; — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

§ Общее векторное уравнение прямой ^[в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

§ Векторное уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :

где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

13 Предел функции и его геометр.смысл. свойства.

Число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹х_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех х¹хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε, у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

14 Различные виды пределов.

Односторонние пределы.

Число называется пределом функции в точке слева или левосторонним пределом, если для любого, сколь угодно малого, положительного найдется такое , что для всех таких, что , выполняется неравенство
Предел слева функции обозначается так:

или

Пределы на бесконечности.

Число называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого, положительного найдется такое , что для всех выполняется неравенство
Пишем:

Бесконечные пределы.

Пусть функция неограниченно возрастает в левосторонней окрестности точки . Говорят, что функция стремится к , когда

если для любого, сколь угодно большого числа найденся такое , что для всех таких, что , выполняется неравенство .

15 Бесконечно малые функции и св-ва

Функции и называют бесконечно малыми при , если и

Свойства.

1. Если функции и являются бесконечно малыми, то функция также есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая

16 Эквивалентно беск.мал.Замечател.пределы

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению Δ х аргумента х в точке соответствует бесконечно малое приращение функции Δ y, т. е. . Другими словами, функция у = f (х) непрерывна в точке , если
, т. е. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.