![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
11.1. Определение. Однородная марковская последовательность называется эргодической, если существует предел , который не зависит от состояния
и выполняются условия:
1) , 2)
Замечание. Эргодические процессы, в отличие от обычных марковских процессов, "не помнят" точку старта.
Теорема 47 (достаточные условия существования эргодического распределения). Пусть - переходная вероятность за один шаг. Пусть существует
такое, что
. Тогда существует вектор
, компоненты которого
и
, причем для
Доказательство. Из соотношения Чепмена-Колмогорова, имеем
.
Обозначим: Покажем, что
при
. Действительно
,т. е.
.
Аналогично устанавливается неравенство .
Из соотношения Чепмена - Колмогорова следует, что
Таким образом для и
, имеем
отсюда следует неравенство
. (27)
Аналогичным образом легко показать
(28)
Вычтем из (27) (28), имеем . Выбирая
кратное
(например
), получаем, что
. Отсюда следует
при
.
Доказательство закончено.
11.2. Теорема 48. Пусть имеется однородная марковская цепь , а
- переходная вероятность за один шаг. Пусть
. Тогда
;
либо
если , то эргодического распределения не существует;
если то эргодическое распределение существует и единственно.
Доказательство. 1) .В силу леммы Фату
.Рассмотрим
т. е.
Пусть существует индекс :
Следовательно
Мы пришли к противоречию. Значит наше предположение неверно, поэтому . (29)
2) Из утверждения 1) теоремы имеем
Значит для
Устремляя в (29) , получаем
Если вектор , то он не является распределением вероятностей. Следовательно пункт 3) - доказан.
, следовательно
- распределение вероятностей.
Доказательство закончено.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 552 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!