Квадратично интегрируемые мартингалы

7.1. Определение. Пусть мартингал относительно меры Р и , тогда такой мартингал называется квадратично интегрируемым.

Определение. Предсказуемая возрастающая последовательность, обозначаемая , называется характеристикой квадратично интегрируемого мартингала , если - мартингал относительно меры Р.

Теорема 28. Если квадратично интегрируемый мартингал, то у него существует единственная характеристика , причем:

i) Р - п. н.,

ii) - мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Существование и единственность характеристики квадратично интегрируемого мартингала следует из теоремы Дуба-Мейера. Поэтому Р - п. н. справедливо представление

,

где мартингал относительно меры Р. Отсюда следует, что Р - п. н.

. (17)

Возьмем условное математическое ожидание относительно левой и правой частей (17), имеем Р - п. н.

Покажем, теперь, что - мартингал.

Для этого достаточно показать, что Р - п. н.

Действительно, так как

a то . Доказательство закончено.

7.2. Определение. Пусть и – квадратично интегрируемые мартингалы, предсказуемый случайный процесс, обозначаемый через , называется взаимной характеристикой квадратичноинтегрируемых мартингалов и , если является мартингалом относительно фильтрации и меры Р.

Теорема 29. Если и квадратично интегрируемые мартингалы, то взаимная характеристика существует и единственна, причем:

i)

ii) Р - п. н.

Доказательство. Сначала заметим, что и – квадратично интегрируемые мартингалы. Поэтому и - являются мартингалами, причем и - единственные предсказуемые возрастающие процессы. Заметим, что и поэтому является мартингалом относительно фильтрации и меры Р.

Отсюда следует утверждение теоремы.

7.3. Определение. Пусть , квадратично интегрируемые мартингалы относительно фильтрации и меры Р. Будем говорить, что и ортогональны, если является мартингалом.

Теорема 30. Для того чтобы квадратично интегрируемые мартингалы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы Р - п. н. для любого .

Доказательство. Пусть и ортогональны. В силу формулы Ито, имеем

(18)

Заметим, что второе, третье и четвертое слагаемые правой части (18) являются мартингалами, поэтому является мартингалом тогда и только тогда, когда Р - п. н..

Следствие 31. Пусть и квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Достаточно доказать, что Р- п.н.. Действительно, , в силу теоремы 29, является мартингал-разностью. Доказательство закончено.

7.4. Теорема 32 (неравенство Куниты - Ватанабэ). Пусть и квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда Р - п. н. для любого

Доказательство следует из неравенства Коши и определения взаимной характеристики квадратично интегрируемого мартингала.

Теорема 33 (Разложение Куниты-Ватанабэ). Пусть и -квадратично интегрируемые мартингалы относительно меры Р, принимающие значения в .

Тогда существуют последовательности: i) -предсказуемая; ii) мартингал относительно мер Р ортогональный мартингалу ; такие, что Р - п.н. справедливо разложение

, (19)

причем разложение (19) –единственно.

Доказательство. Обозначим для любого .

(20)

Очевидно, что - предсказуема. В силу того, что:

i) -мартингал относительно меры Р;

ii) из определения следует, что -мартингальное преобразование, а из неравенства Куниты-Ватанабэ следует, что оно является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

Поэтому - мартингал относительно меры Р.

Покажем, что - мартингал относительно меры Р. Для этого достаточно установить, в силу формулы Ито, равенство

Р - п.н., которое следует из (20). Отсюда вытекает, что Р - п.н.. Следовательно,

Установим единственность разложения (19). Действительно, пусть существуют и относительно которых справедливо разложение (19). Тогда, если , то из (19) следует, что - мартингал относительно потока и меры Р. Поэтому - мартингал. Следовательно, Р - п.н. Доказательство закончено.

7.5. Предложение 34. Пусть - локальный мартингал относительно меры Р, а локализующая последовательность. Тогда для любого является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

Докажите самостоятельно.