Марковские моменты. Локальные полумартингалы

4.1. Определение. Отображение называется марковским моментом, если для .

Конечный марковский момент (Р ()=1) называется моментом остановки.

Обозначим для всех }.

Предложение 11. алгебра.

Доказательство. Очевидно, что: i) ; ii) замкнута относительно операции взятия счетных пересечений; iii) если и , то и следовательно . Стало быть, алгебра.

Примеры: 1) .

2) Пусть - случайная последовательность, а -марковский момент. Определим , где Тогда измерима. (Докажите самостоятельно).

3) Пусть марковский момент. Действительно

.

Предложение 10. Пусть марковский момент. Тогда 1) , 2)

Доказательство. 1) Очевидно . Поэтому из определения марковского момента следует, что . Второе утверждение очевидно.

4.2. Пусть марковский момент относительно фильтрации .

Предложение 12. 1) Если t, s - марковские моменты, то min(t,s),

max(s,t), t+s, (t-s)⁺ max(t-s,0) являются марковскими моментами.

2) Если - марковские моменты и Р - п. н., то .

3) Если - марковские моменты, то принадлежат и .

4) Если - последовательность марковских моментов. Тогда t_n, t_n, t_n , t_n, t_n также являются марковскими моментами.

Докажите предложение 12 самостоятельно.

4.3. Определение. Последовательность называется остановленной, если

Определение. Последовательность марковских моментов называется t-локализующей, если она неубывающая и Р - п. н. существует t = t_n. Если ¥, то называется локализующей.

4.4. Определение. Последовательность называется локальным полумартингалом, если существует локализующая последовательность , такая, что остановленная последовательность является полумартингалом.

Определение. Последовательность называется мартингал-разностью, если существует М (x_t | ) для любого и М () =0 Р - п. н.

Из этого определения следует утверждение.

Предложение 13. Последовательность , где является мартингалом (относительно меры Р) тогда и только тогда, когда является мартингал разностью.

4.5. Лемма 14. Пусть - локальный мартингал с и либо . Тогда - мартингал.

Доказательство. Сначала покажем, что если выполнено , то и следовательно , для . Действительно. Пусть - локализующая последовательность, тогда в силу леммы Фату имеем

М = М £ М = М [ + ] = + М £ | | + < ¥. Поэтому .

Заметим, что: а) | | £ ; б) M <¥. Из того, что - локальный мартингал, следует М ( | )= Р - п. н.. Воспользуемся теперь теоремой Лебега (о мажорируемой сходимости), в последнем равенстве имеем Р - п.н..

Доказательство закончено.

Следствие 15. Всякий локальный мартингал ограниченный сверху (снизу) является мартингалом.

Теорема 16. Пусть - локальный мартингал (относительно меры Р). Тогда последовательность является супермартингалом (относительно меры Р).

Доказательство. В силу условий существует локализующая последовательность марковских моментов такая, что

P - п. н., причем Р - п. н. Поэтому в силу леммы Фату, имеем P - п. н.

= = ³ M( | ) =

= .

Доказательство закончено.