Локальная абсолютная непрерывность вероятных мер. Теорема Гирсанова

8.1. Пусть на фильтрованном измеримом пространстве заданы две вероятностные меры и Р. Обозначим через и сужение вероятностных мер и Р, соответственно, на .

Обозначим .

Определение. Мера называется локально абсолютно непрерывной относительно меры Р (обозначаем ), если для каждого n.

Определение. Мера называется локально эквивалентной мере Р (обозначаем ), если для каждого n, т.е. и для каждого .

Обозначим через - производную Радона - Никодима, которую мы будем называть локальной плотностью. Отметим, что из не следует .

Теорема 35. Пусть - локальная плотность меры относительно меры Р. Тогда - мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Пусть , имеем
Отсюда в силу произвольности А получаем, что Р - п. н. для . Доказательство закончено.

Следствие 36. Если - равномерно интегрируемый неотрицательный мартингал, то существует - измеримая неотрицательная случайная величина такая, что и Р - п. н. (Это утверждение вытекает из теоремы 6).

2.8.2. Теорема 37 (Гирсанов). Пусть - локальный мартингал относительно меры Р, а - локальная плотность меры относительно меры Р. Пусть и для любого

Р - п. н. Тогда относительно меры последовательность определяемая соотношением

является локальным мартингалом.

Доказательство. Пусть -измеримая случайная величина. Тогда Р - п. н. справедливо равенство

. (21)

Действительно. Пусть - любая измеримая ограниченная случайная величина. Тогда, с одной стороны, имеем

(22)

С другой стороны

(23)

Из (23) и (22) в силу произвольности получаем (21). Далее, в силу (21), имеем Р - п. н.

Значит является мартингал-разностью относительно меры . Доказательство закончено.