Мартингальные преобразования. Теорема Дуба - Мейера

5.1. Определение. Последовательность называется предсказуемой, если -измеримо при каждом t.

Соглашение: .

Пусть - мартингал относительно меры Р. Обозначим
.

Определение. Последовательность , где -предсказуемая последовательность, а - мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.

Предложение 17. Пусть ограниченная предсказуемая последовательность, а , где – мартингал относительно меры P, тогда - мартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Действительно, очевидна оценка:
,так как по условию Р - п.н. для ). Отсюда следует, что . (Здесь мы воспользовались тем, что .)

Осталось показать Р - п. н. . Для этого достаточно доказать, что Действительно, для Р - п.н. имеем

. Доказательство закончено.

5.2. Определение. Последовательность называется обобщенным мартингалом, если для каждого определены условные математические ожидания и Р - п. н. .

Теорема 18. Следующие утверждения эквивалентны:

1) Последовательность - локальный мартингал.

2) Последовательность - обобщенный мартингал.

3) Последовательность - мартингальное преобразование, т. е. существуют предсказуемая последовательность с и V₀= 0, а также мартингал такие, что Р - п. н. Для

Докажите самостоятельно.

5.3. Для формулировки теоремы Дуба - Мейера нам понадобится следующее определение.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если Р - п. н. для всех .

Теорема 19 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность и мартингал такие, что Р - п.н. для любого

, (8)

при этом представление (8) Р -п.н. единственно.

Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что и . Образуем две последовательности:

, (9)

. (10)

Складывая (9), (10) получим: . Нам надо убедиться в том, что - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал (тем самым мы докажем теорему).

Рассмотрим последовательность . По условию - субмартингал, следовательно Р - п. н. , значит - неубывающая последовательность. Докажем, что -измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что -измеримо, поэтому в силу (10) -измеримо. Заметим, что - мартингал тогда и только тогда, когда

. Из определения следует, что Поэтому

P - п. н..

Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.

_.
Поэтому Р - п. н. .
Отсюда следует Р - п. н.

, (11)

. (12)

Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.

. (13)

Возьмем относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.

Так как -измеримо, а - мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что

Р - п.н. для любого t . По построению , поэтому - Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение - единственно. Доказательство закончено.

Замечание. Пусть - супермартингал, тогда -субмартингал, поэтому , значит , где - предсказуемый возрастающий процесс, - мартингал относительно потока и меры Р.

Следствие 20. Пусть - предсказуемый локальный мартингал. Тогда Р - п. н. .(Докажите самостоятельно).

5.4. Пример (применения теоремы Дуба - Мейера).

Теорема 21[16]. Пусть , где - бернуллиевские случайные величины, принимающие значения +1,-1, причем .

Доказательство. Пусть -число нулей последовательности , т.е. Тогда . В силу теоремы Дуба - Мейера имеем . Заметим, что
.

В силу марковского свойства последовательности , имеем Р -п.н.

Таким образом , поэтому Р -п.н.

.

Рассмотрим множество . Заметим, что Р -п.н.: а) при

, б) . Поэтому Р -п.н.

Очевидно, что -число попаданий в точку нуль последовательностью за время N. Тогда Р - п. н. Из последнего равенства следует, что . Доказательство закончено.

Замечание. - среднее число нулей последовательности в симметричном случайном блуждании.

Заметим, что при . Значит , следовательно - среднее число нулей в симметричном случайном блуждании.