![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
5.1. Определение. Последовательность называется предсказуемой, если
-измеримо при каждом t.
Соглашение: .
Пусть - мартингал относительно меры Р. Обозначим
.
Определение. Последовательность , где
-предсказуемая последовательность, а
- мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.
Предложение 17. Пусть ограниченная предсказуемая последовательность, а
, где
– мартингал относительно меры P, тогда
- мартингал (относительно меры Р).
Доказательство. Действительно, очевидна оценка:
,так как по условию Р - п.н.
для
). Отсюда следует, что
. (Здесь мы воспользовались тем, что
.)
Осталось показать Р - п. н. . Для этого достаточно доказать, что
Действительно, для
Р - п.н. имеем
. Доказательство закончено.
5.2. Определение. Последовательность называется обобщенным мартингалом, если для каждого
определены условные математические ожидания
и Р - п. н.
.
Теорема 18. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Последовательность - локальный мартингал.
2) Последовательность - обобщенный мартингал.
3) Последовательность - мартингальное преобразование, т. е. существуют предсказуемая последовательность
с
и V0= 0, а также мартингал
такие, что Р - п. н. Для
Докажите самостоятельно.
5.3. Для формулировки теоремы Дуба - Мейера нам понадобится следующее определение.
Определение. Последовательность называется возрастающей, если
Р - п. н. для всех
.
Теорема 19 (Дуба - Мейера). Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность
и мартингал
такие, что Р - п.н. для любого
, (8)
при этом представление (8) Р -п.н. единственно.
Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что и
. Образуем две последовательности:
, (9)
. (10)
Складывая (9), (10) получим: . Нам надо убедиться в том, что
- предсказуемый возрастающий процесс, а
- мартингал (тем самым мы докажем теорему).
Рассмотрим последовательность . По условию
- субмартингал, следовательно Р - п. н.
, значит
- неубывающая последовательность. Докажем, что
-измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что
-измеримо, поэтому в силу (10)
-измеримо. Заметим, что
- мартингал тогда и только тогда, когда
. Из определения
следует, что
Поэтому
P - п. н..
Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.
.
Поэтому Р - п. н. .
Отсюда следует Р - п. н.
, (11)
. (12)
Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.
. (13)
Возьмем относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.
Так как -измеримо, а
- мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что
Р - п.н. для любого t . По построению
, поэтому
- Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение
- единственно. Доказательство закончено.
Замечание. Пусть - супермартингал, тогда
-субмартингал, поэтому
, значит
, где
- предсказуемый возрастающий процесс,
- мартингал относительно потока
и меры Р.
Следствие 20. Пусть - предсказуемый локальный мартингал. Тогда Р - п. н.
.(Докажите самостоятельно).
5.4. Пример (применения теоремы Дуба - Мейера).
Теорема 21[16]. Пусть , где
- бернуллиевские случайные величины, принимающие значения +1,-1, причем
.
Доказательство. Пусть -число нулей последовательности
, т.е.
Тогда
. В силу теоремы Дуба - Мейера имеем
. Заметим, что
.
В силу марковского свойства последовательности , имеем Р -п.н.
Таким образом
, поэтому Р -п.н.
.
Рассмотрим множество . Заметим, что Р -п.н.: а) при
, б)
. Поэтому
Р -п.н.
Очевидно, что -число попаданий в точку нуль последовательностью
за время N. Тогда
Р - п. н. Из последнего равенства следует, что
. Доказательство закончено.
Замечание. - среднее число нулей последовательности
в симметричном случайном блуждании.
Заметим, что при
. Значит
, следовательно
- среднее число нулей в симметричном случайном блуждании.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 287 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!