Существование случайных последовательностей

2.1. Чтобы построить случайную последовательность, надо сконструировать вероятностную меру на его траекториях. Существует два подхода к решению этой проблемы:

1) основанный на переходных вероятностях;

2) основанный на непосредственном задании случайного процесса.

2.2. В данном пункте мы построим марковский процесс (с дискретным временем) с помощью переходных вероятностей. Без ограничения общности, можно считать, что = ().

Пусть задано семейство переходных вероятностей { Р (s, t,B)} и справедливо соотношение Чепмена – Колмогорова. Предположим еще, что задана также вероятностная мера на . Тогда существует вероятностное пространство и случайная последовательность (, ) _{t > 0} на нем такие, что для любых .

Таким образом определенный марковский процесс (, ) _{t > 0} называют марковским процессом с начальным распределением и семейством переходных вероятностей { Р (s, t,B)}. Это построение обобщает следующая теорема о существовании случайной последовательности.

Теорема 2. (Ионеску-Тулчи). Пусть - произвольные измеримые пространства и , а . Пусть на () задана вероятностная мера Р ₁ и для каждого набора на заданы вероятностные меры Р , которые для каждого В являются борелевскими функциями от ), причем для любых

.

Тогда на существуют: 1) единственная вероятностная мера Р такая, что для любого

(3)

2) случайная последовательность Х = такая, что

(4)

Доказательство этого утверждения читатель может найти в ряде известных руководств [1,3].

Пример: Пусть ={1,2,…}, Р _к (x,y) – семейство неотрицательных функций , x,y , таких, что Пусть распределение вероятностей на ( ). Тогда существуют и семейство случайных величин Х ={ на нем таких, что

P (

В качестве элементов Ω можно взять . Такая последовательность случайных величин Х ={ называется марковской цепью со счетным множеством состояний и матрицей переходных вероятностей { Р _к (x,y)}, и начальным распределением

2.3. В данном пункте мы приведем методику непосредственного задания марковской случайной последовательности.

Пусть Ф: измеримая по Борелю функция, обозначаемая через Ф(t,x,y), где и – полные, сепарабельные, метрические пространства. Последовательность { X_t } _{t > 0} со значениями определим с помощью рекуррентного соотношения

, , (5)

где ( последовательность случайных элементов, принимающая значения в . Соотношение (5) называется процессом, определенным рекуррентно. Положим, что - нормированное пространство с нормой . Возникают два вопроса:

1) является ли X_t для любого t измеримым;

2) | Р - п. н.

Определение. Под сильным решением процесса, определенного рекуррентно, будем понимать последовательность измеримую относительно алгебры такую, что: а) Р ( | )=1; б) она обращает (5) в тождество с вероятностью 1.

Определение. Будем говорить, что (5) имеет единственное сильное решение, если из того что существуют i =1,2 – два сильных решения соотношения (5), причем (т.е. они начинаются из одной точки), то Р ( для любого

Теорема 3. Пусть Ф: , где – линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условиям:

1) ||Ф(t,x,y) – Ф(t,z,y)||

2) ||Ф(t,0,y)|| .

Тогда: а) если выполнено 1), то решение (5) единственно; б) если выполнены 1) и 2) и Р - п. н. , то существует сильное решение (5).

Замечание 1. Поясним смысл условий теоремы 3. Очевидны неравенства:

||Ф(t,x,y)|| = ||Ф(t,0,y)+ Ф(t,x,y)- Ф(t, 0, y)|| ||Ф(t, 0, y)|| + ||Ф(t,x,y) - Ф(t, 0, y)|| L + L| | x| | = L (1+|| x || ) (т.е. допустим рост по х не быстрее, чем линейный).

Доказательство. а) Пусть имеются два сильных решения, начинающихся на одной точке , имеем Р - п. н.

Значит, Р - п. н. для .

б) Заметим,

Следовательно, если Р - п. н. – конечно, то Р -п. н.

Замечания. 1) Пусть удовлетворяет (5), и Если (5) имеет единственное сильное решение, то справедливо Р - п. н. для

2) Обозначим Р (s, ,t,B) = P (t, ,B) – переходную вероятность за один шаг. Из соотношения Чепмена-Колмогорова следует, чтобы построить переходную вероятность за t шагов, достаточно знать переходную вероятность за один шаг.

2.4. Установим условия, выполнение которых гарантирует, что процесс, определенный рекуррентно, является марковским.

Теорема 4. Пусть выполняются условия: 1) рекуррентное соотношение (5) имеет единственное сильное решение, 2) последовательность независимых в совокупности случайных величин (со значениями в ), 3) не зависит от . Тогда 1) последовательность - -измерима при каждом t и - марковская, 2) переходная вероятность за один шаг имеет вид

Доказательство. Нам надо доказать, что Р - п. н.

.

Рассмотрим сначала левую часть этого равенства в силу замечания 1.3.1 Р -п.н. = .
Так как - сильное решение (5), то -измеримо, то по теореме Бореля для каждого t существуют функции такие, что Р - п. н. . Поэтому, в силу условий 2), 3) имеем Р - п. н.

= = =

= = .

Отсюда следует, что Доказательство закончено.

2.5. Примеры процессов, определенных рекуррентно.

1) Пусть =0, где -последовательность независимых (в совокупности) величин. В силу теоремы 4 является марковской последовательностью.

2) Дискретная модель диффузии. Рассмотрим рекуррентное соотношение:

, (6)

где - измеримые по Борелю функции, - последовательность независимых в совокупности случайных величин, причем . (6) имеет единственное сильное решение, если выполнены условия:

а)

б)

Пусть , а В этом случае удовлетворяет рекуррентному соотношению

, . (7)

Покажем, что , причем

, ;

Действительно. Обозначим , из рекуррентного соотношения (7) следует

М [ ]= = .

Ясно, что .
Из определения дисперсии имеем . Получили рекуррентное соотношение для . Рассмотрим разность , имеем из (7): = =

Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:

=

Так как , то отсюда следует, что

.

Покажем, что - гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть - гауссовская случайная величина. Очевидно, что тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.