Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы

3.1. Пусть (, , , Р) – стохастический базис, последовательность { - согласована с потоком , и принимает значения в .

Определение. Последовательность (, ) _{t > 1} называется мартингалом, если:
1) , 2)

Если выполнено 1) и Р -п. н., то последовательность (, ) _{t >0} называется супермартингалом.

Если выполнено 1) и Р - п. н., то последовательность (, ) _{t >0} называется субмартингалом.

Пример. Пусть , где независимые в совокупности случайные величины. Пусть , . Ясно, что

=

= + + + .

Отсюда следует, что:

а) (, ) _{t > 1}- мартингал, если для любого t;

б) (, ) _{t > 1}- супермартингал, если для любого t;

в) (, ) _{t > 1}- субмартингал, если для любого t;

Утверждение 5. Если (, ) _{t >0} – марковская случайная последовательность с переходной вероятностью P (s, ,t,B), то
P (s, t,B) – мартингал для , относительно потока алгебр и меры Р.

Доказательство. Из соотношения Чепмена – Колмогорова имеем
Р -п. н. при :

M (P (u, , t,B)| )= M (P (u, , t,B)| ) = .

3.2. Теорема 6 (Дуба). Пусть (, ) _{t >0} – неотрицательный супермартингал, тогда с вероятностью 1 существует .

Замечания. 1) Покажем, что предложения о неотрицательности супермартингала (, ) _{t >0} можно отказаться. Очевидно, что М М , т.е. в среднем последовательность - убывает. Пусть Образуем новую последовательность . Понятно, что .Тогда , значит любой супермартингал представим в виде разности двух неотрицательных супермартингалов.

2) Если - супермартингал, то - субмартингал. Поэтому утверждение теоремы 6 верно и для субмартингалов.

3.2.1 Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.

Пусть числовая последовательность, a<b, [ a,b ] – отрезок. Обозначим - число пересечений отрезка [ a,b ] последовательностью снизу вверх.

Лемма 7 (О числе пересечений отрезка [ a,b ] снизу вверх).

Справедливо неравенство:

,

где

Доказательство. Обозначим

, ,

, ,

,

Очевидно, что

Отсюда следует, что

(b-a) = .

Докзательство закончено.

Лемма 8. (О среднем числе пересечений). Пусть (, ) _{t >0} – неотрицательный супермартингал, тогда М .

Доказательство. В силу леммы 7 имеем неравенство:

.

Так как (, ) _{t >0} - супермартингал, то М () ≤ 0. Отсюда следует неравенство

. Доказательство закончено.

3.2.2. Доказательство теоремы 6. Предположим, что у последовательности не существует конечного предела. Через В обозначим множество не имеет конечного предела}. Наше предположение выполнено, если:

1) Р - п. н.,

2) Р - п. н.

Обозначим: А }, C = }. Очевидно, что , поэтому . Значит для доказательства теоремы достаточно доказать, что Р (А) =0 и Р (С)=0.

Покажем, что Р (А)=0. В силу неравенства Чебышева и леммы Фату имеем Р ( . Устремляя теперь , получаем Р (А)=0.

Теперь докажем, что Р (С)=0. Заметим, что

, где и - рациональные числа}= = .

Рассмотрим вероятность Р ( N) в силу неравенства Чебышева и леммы 8 мы имеем:

Р ( N) .

Устремляя теперь , получаем неравенство Р ( N) . Отсюда следует, что Р (, т.е. Р (С)=0. Доказательство закончено.

3.3. Определение. Мартингал называется равномерно интегрируемым, если .

Теорема 9. Пусть равномерно интегрируемый мартингал, тогда Р -п.н. существует случайная величина такая, что:

а) = Р - п. н.,

б) М | - Р - п. н.

Доказательство этой теоремы следует из теоремы 6.