Участки монотонности. Локальные экстремумы функций

Признаки монотонности.
1) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы первая производная функции была всюду на интервале положительной: f ' (x) > 0 (отрицательной: f ' (x)<0).
2) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была всюду на интервале неотрицательной: f ' (x)≥0 (неположительной: f ' (x) ≤ 0).

Определение. Точка α, в которой первая производная f ' (x) функции обращается в 0, называется критической точкой функции.

Теорема 1. Первое достаточное условие локального экстремума. Пусть точка α является критической точкой дифференцируемой в некоторой окрестности рассматриваемой точки функции f(x). Тогда, если слева от точки α производная f ' (x) положительна, справа -- отрицательна, то критическая точка α является точкой локального максимума.
Если же слева от критической точки α производная f ' (x) отрицательна, а справа положительна, то α есть точка локального минимума.

Теорема 2. Второе достаточное условие локального экстремума. Пусть α критическая точка дифференцируемой в некоторой окрестности точки α функции f(x) и пусть в этой точке у рассматриваемой функции существует вторая производная f '' (α). Тогда, если вторая производная f '' (α)<0, то критическая точка α является точкой локального максимума, а если f '' (α)>0, то α есть точка локального минимума.

Помимо точек, в которых существует и равна нулю первая производная функции, локальные экстремумы могут находиться в точках, где первая производная не существует. Поскольку такие случаи не редкость, рассмотрим их подробнее. Оказывается, Теорема 4.1 в измененной форме может оказаться полезной при рассмотрении таких точек.

Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна в точке α и у нее всюду в некоторой окрестности этой точки, но за исключением самой точки α, существует первая производная. Тогда, если в производная f ' (x) положительна (отрицательна) слева от α и отрицательна (положительна) справа от α, то в точке α функция f(x) имеет локальный максимум (минимум).

Теорема 2 не позволяет сделать определенного заключения о характере критической точки α функции f(x), если в этой точке вторая производная обращается в нуль: f '' (α)=0. Если в точке α у рассматриваемой функции существуют производные более высокого порядка, то их можно привлечь для разрешения вопроса о наличии или отсутствии локального экстремума в критической точке.

Теорема 4. Пусть в критической точке α у функции f(x) существуют производные до порядка n ≥ 3, причем выполняются соотношения
f ' (α) = 0, f '' (α) = 0,... (α) ≠ 0.
Тогда, если n- четное число, то критическая точка α является точкой локального экстремума. Точнее, при (α)<0 в точке α локальный максимум, а при (α)>0 точка α есть точка локального минимума.
Если же n нечетное число, то в точке α нет локального экстремума.

№19 Выпуклость вверх и вниз. Точки перегиба.

Выпуклость.

а) Понятие выпуклости.

Непрерывная функция называются выпуклой вверх на отрезке [a,b], если для любых точек и отрезка [a,b] выполняется неравенство

(23)

Далее – геометрическая интерпретация для выпуклости, понятная интуитивно из формулы (23).

При этом если неравенство строгое, то функцию называют строго выпуклой вверх на отрезке [ a,b ].

Непрерывная функция называются выпуклой вниз на отрезке [a,b], если для любых точек и отрезка [a,b] выполняется неравенство

(24)

б) Достаточные условия выпуклости

Теорема 8 Пусть существует на отрезке [ a,b ], а – на интервале (a,b).

Тогда:

а) если

при всех (25)

то функция выпукла вниз на отрезке [ a,b ];

б) если

при всех (26)

то функция строго выпукла вниз на отрезке [ a,b ].

Аналогично, при выполнении на интервале (a,b) условия функция выпукла вверх (строго выпукла вверх) на отрезке [a,b].

Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется условие (25). Нужно доказать, что для любых точек , отрезка [a,b] выполняется условие (24). Пусть, например, (при условие (24) выполняется).

Обозначим , , тогда , откуда . Применяя к функции f(x) на отрезках [ и [ формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n=2, получаем

- ,

+ ,

Складывая эти равенства, находим

+

Так как , то в силу условия (25) и из последнего равенства следует неравенство равносильное неравенству (24).

Замечание 5. Условие не является необходимым условием строгой выпуклости вниз функции . Например, для функции условие нарушается при x=0, так как , однако эта функция строго выпукла вниз.

Точки перегиба.

а) Понятие точки перегиба. Пусть функция f(x) непрерывна в точке и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производную ( или Тогда если эта функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. существует такое, что на одном из интервалов она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называют точкой перегиба функции , а точку (, ) – точкой перегиба графика функции .

б)Необходимое условие наличие точки перегиба.

Теорема 9. Если – точка перегиба функции f(x) и если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то

(28)

Пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке

т.е. или для любого .

По теореме 8 функция либо строго выпукла на интервале (если ), либо строго выпукла вверх на интервале . Но тогда не является точкой перегиба. Следовательно, должно выполнятся условие (28).

в) Достаточные условия наличия точки перегиба.

Теорема 10. (первое достаточное условие)

Если функция f непрерывна в точке , имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция меняет знак при переходе через точку , то – точка перегиба функции f(x).

Пусть, например, функция меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку (в точке вторая производная может и не существовать). Это означает, что существует такое, что на интервале выполняется неравенство , а на интервале – неравенство .

Тогда по теореме 8 функция f(x) выпукла вверх на интервале и выпукла вниз на интервале . Следовательно, точка удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба.

Теорема 11. (второе достаточное условие)

Если , , то – точка перегиба функции f(x).

Так как , то по теореме о промежутках возрастания(убывания) функции через первую производную функция либо строго убывает, либо строго возрастает в точке . По условию , и поэтому имеет разные знаки на интервалах и при некотором , откуда, используя теорему 10, заключаем, что – точка перегиба функции f(x).