Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

8. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
Условие коллинеарности двух прямых.
Пусть прямые

и заданные их общими уравнениями

Две прямые будем называть коллинеарными, если они либо параллельны, либо совпадают сливаются.

Очевидно, что прямые, определяемые уравнениями 15 и 16 коллинеарны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы,. Коллинеарность векторов означает существует такого действительного число??, что

Следовательно прямые, заданные уравнениями 15 и 16, коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнены равенства:

В случае, равенства 17 и 18 могут быть записаны в виде: Равенство 19 является условием коллинеарности прямых и Замечание. В равенстве 17 мы предполагаем, что. Если хотя бы один их коэффициентов обращается в ноль, например, то из равенства 17 имеем, что и. Рассмотрим определитель Если прямые и не коллинеарны, то нарушено равенство 19, тогда очевидно определитель. Заметим, что является определителем основной матрицы системы линейных алгебраических уравнений Данная система имеет единственное решение при условии, что и эти решения определяются формулами Крамера: Итак, если прямые, лежащие в плоскости неколлинеарны, то координаты точки их пересечения находятся по формулам 21. Если выполнено условие 19, то прямые и коллинеарны, т.е. они либо параллельны и не имеют ни одной общей точки, либо эти прямые совпадают. Пусть прямые и коллинеарны, т.е. выполнено равенство 19. Обозначим каждое из отношений 19 через, т.е. положим, что Тогда справедливы равенства. Рассмотрим произвольную точку, лежащую на прямой. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению Пользуясь равенствами 23, получим Могут представиться два случая., тогда из равенства 24 найдём. Из последних соотношений имеем Следовательно в случае, когда, произвольная точка прямой не лежит на прямой, т.е. у прямых нет общих точек. Следовательно, условие 25 является условием параллельности прямых. Пусть теперь, где – величина, указанная в равенствах 21. Тогда из равенства 24 получим, т.е. точка лежит как на прямой, так и на прямой. Следовательно эти прямые сливаются. Итак, мы получили следующее условие слияния двух прямых Заметим, что при выполнении условия 25 система линейных уравнений 20 не имеет решений, а при выполнении условия 26 имеет бесконечное множество решений.

Условие ортогональности двух прямых.
Любые две пересекающиеся в одной точке прямые

образуют два угла, в сумме равных??. Один из указанных углов совпадает с углом между нормальными векторами

и этих прямых.
Найдём угол между векторами

и

Пусть прямые

заданы их общими уравнениями 15 и 16, тогда,. Обозначим через

угол между векторами и

Косинус этого угла может быть вычислен по формуле:

Учитывая в этой формуле, что

,

,
получим

В частности, если угол

прямой, то

и мы получим условие ортогональности прямых

28
Пусть теперь прямые

заданы их уравнениями с угловыми коэффициентами

Запишем уравнения 27 и 28 в виде

Уравнения 31 и 32 являются общими уравнениями прямых

при,,,,,. При этом из условия 25 получим условие параллельности прямых

Из условия 26 получим условие слияния двух прямых

.

Из формулы 27 получим формулу для определения угла

между прямыми

Из условия 28 получим условие ортогональности прямых

Рассмотрим теперь случай, когда прямые

заданы их каноническими уравнениями.

Из уравнений 37 и 38 получим

Уравнения 39 и 40 являются общими уравнениями прямых

при

. Тогда из условий 25, 26, 27, 28 получим
Условие коллинеарности

.
Условие параллельности

.
Условие слияния

.
Формула для вычисления угла

.

Условие ортогональности.

Приведём ещё одну формулу для нахождения угла между двумя прямыми.

Пусть прямые

заданы уравнениями

Пусть

- угол между прямыми, отсчитанный от прямой до прямой

против часовой стрелки. Тогда, либо, либо. Но во всех указанных случаях. Учитывая в последнем равенстве, что,, получим

№8 Линии второго порядка на плоскости. Эллипс. Гипербола. Парабола.