Средние значения количественного признака X

Генеральная средняя: Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Определение. Генеральной средней xΓ называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения x1, x2,..., xN признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака x1, x2,..., xk имеют соответственно частоты N1,N2,...,Nk, причем N1 + N2 +... + Nk = N, то

т. е. генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Пусть генеральная совокупность объема N содержит объекты с различными значениями признака X, равными x1, x2,..., xN. Пусть из этой совокупности наудачу извлекается один объект. Вероятность того, что будет извлечен объект со значением признака, например x1, равна 1 \N. С этой же вероятностью может

быть извлечен и любой другой объект. Таким образом, величину признака X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой x1, x2,..., xN имеют одинаковые вероятности, равные 1\N. Найдем математическое ожидание M[X]:

Если рассматривать признак X генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака:

Этот вывод получили, считая, что все объекты генеральной совокупности имеют различные значения признака. Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содержит по несколько объектов с одинаковым значением признака. Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака X, и в этом случае определим генеральную среднюю как математическое ожидание признака:

Выборочная средняя

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Определение. Выборочной средней xB называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x1, x2,..., xn признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака x1, x2,..., xk имеют соответственно частоты n1, n2,..., nk, причем n1 + n2 +... + nk = n, то

или

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки - это определенное число. Если извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, и можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Определение. Групповой средней называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для средней всей совокупности.

Определение. Общей средней x называется среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.