Статистическая проверка статистических гипотез

Пусть случайная величина X имеет плотность p (x, θ), зависящую от параметра θ, одномерного или многомерного, принимающего значения из некоторого множества Θ. В частности, если p (x, θ) — одномерная плотность распределения и независимая выборка x ₁, x ₂,… x _n(1) получена из распределения с этой плотностью, то n -мерная плотность, соответствует выборке (1) равна произведению

(С очевидными изменениями все это переносится и на дискретный случай, когда p (x, θ)= P { X=x }).

Значение параметра θ вполне определяет плотность p (x, θ). Те или иные гипотезы о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения называются статистическими гипотезами. Статистическая гипотеза типа θ = θ ₀, где θ ₀ — некоторое фиксированное значение, называется простой; гипотеза типа θ Θ называется сложной (содержат конечное или бесконечное число простых гипотез). Проверку гипотезы проводят статистическим методом, поэтому проверку называют статистической. Гипотезу проверяют на основании выборки из ГС — это и есть статистический метод. Из-за случайности выборки в результате статистической проверки могут возникнуть ошибки и приниматься неправильные решения. Решение принимается по значению некоторой функции от выборки, называемой статистикой (это спец. статистика, которая называется статистическим критерием, который служит для отбора и проверки).

Опр: Статистический критерий К — это случайная величина, т.е. функция на множестве случайного аргумента, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Множество значений критерия К можно разделить на два непересекающихсяподмножества:

подмножество значений К, при которых H ₀ принимается, называемое областью принятия гипотезы (допустимой областью).

подмножество значений критерия К, при которых основная гипотеза H ₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза H ₁ , называемое критической областью.

К — одномерная случайная величина, т.е. его возможные значения некоторому интервалу. Обычно интервал — вся прямая или положительная полуось, поэтому критическая область критерия и допустимая область критерия также являются интервалами на числовой оси и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют. Они называются критическими точками или границами критерия К.