Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ∗ служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ может быть и случайной величиной). Θ∗ тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности |Θ − Θ∗|. Другими словами, если

δ > 0 и |Θ − Θ∗| < δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число δ характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Θ∗ удовлетворяет неравенству |Θ−Θ∗| < δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ∗ называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |Θ − Θ∗| < δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0.95, 0.99 и 0.999. Пусть вероятность того, что, |Θ − Θ∗| < δ равна γ P(|Θ − Θ∗| < δ) = γ.

Заменив неравенство |Θ − Θ∗| < δ | равносильным ему двойным неравенством −δ < Θ − Θ∗ < δ, или Θ∗ − δ < Θ < Θ∗ + δ, получим

P(Θ∗ − δ < Θ < Θ∗+ δ) = γ.

Это соотношение будем понимать так: вероятность того, что интервал (Θ −δ,Θ∗ + δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ. Доверительным называют интервал (Θ∗ − δ,Θ∗ + δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ. Интервал (Θ∗ −δ,Θ∗ +δ) имеет случайные концы (они называются доверительными границами).

В разных выборках получаются различные значения Θ∗. Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться и концы доверительного интервала, т. е. доверительные границы сами являются случайными величинами - функциями от x1, x2,..., xn. Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр Θ, а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания Θ в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет Θ.

13. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ.

Доверит. интервал для a при известном параметре σ.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ), причем a неизвестно, а σ известно.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

Для решения задачи воспользуемся следующим фактом.

Пусть X₁, X₂, X_n, — независимые случайные величины, распределение которых нормально с параметрами a и σ. Тогда случайная величина нормальна с параметрами a и . Для обоснования этого утверждения достаточно вычислить плотность распределения .

Статистика имеет нормальное распределение с параметрами (0,1)(стандартное нормальное распределение). Пусть — квантиль порядка стандартного нормального распределения. Тогда , следовательно

. Таким образом статистики задаются равенствами , , и доверит. интервал для a построен.

14. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ.

Доверит. интервал для a при неизвестном параметре σ.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ), причем a и σ неизвестны.

Построить доверительный интервал для a при заданной доверительной вероятности (1- a).

,

Для решения воспользуемся теоремой: Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ), Статистика имеет распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы. (Без доказательства)

Построим, пользуясь этой теоремой, доверительный интервал для a. Для этого прежде всего заметим, что плотность вероятности распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы является четной и положительной функцией x. Поэтому, если — квантиль распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы порядка (то есть корень уравнения F (U) = , где F (U) — функция распределения Стьюдента с (n - 1) степенью свободы), то , следовательно,

,

.

Итак, , , и задача решена.

15. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.

Доверительный интервал для σ при известном параметре a.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ), причем σ неизвестно, а a известно.

Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Воспользуемся тем, что статистика имеет распределение χ² с n степенями свободы. Пусть K_n (x) — соответствующая функция распределения, , — квантили этого распределения порядков и соответственно. Тогда

,

поэтому , , и задача решена.

Доверительный интервал для σ при неизвестном параметре a.

Пусть x _1, x _2, …, x _n — выборка из N (a, σ), причем σ и a неизвестны.

Построить доверительный интервал для σ при заданной доверительной вероятности (1- a).

Эту задачу будем решать так же, как предыдущую, только неизвестный параметр a заменим его оценкой . Тогда статистика тоже будет иметь распределение χ², но не с n, a с (n- 1) степенью свободы. Пользуясь этим и рассуждая как в предыдущем пункте, получаем , , где , — квантили распределения χ² с (n -1) степенью свободы порядков и () соответственно.