Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂,..., Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р (B₁) P_B1 (А) + Р (В2) P_B2 (А)+......+Р(Вn)Р_Вn(А). (*)

Допустим, что произведет испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности Pa (В1), P_A(B2),+ … Р_А(Вn).

Найдем сначала условную вероятность Р_А (B1). По теореме умножения имеем

Р (AB₁) = Р (А) Р_А (В₁) = Р (В1) P_B1 (A). Отсюда P _A (B ₁)=

Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим

P _A (B ₁)= .

Полученные формулы называются формулами Бейеса. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.