Теорема сложения вероятностей

Сложение вероятностей несовместимых событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А —попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В —попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A) + Р(В).

До казательство. Введем обозначения: п — общее число возможных элементарных исходов испытания; т₁, — число исходов, благоприятствующих.событию А; т₂ — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно т₁ + т₂. Следовательно, Р (А + В) = (т₁ + т₂)/n =. т₁ /n+ т₂/n.

Приняв во внимание, что т₁ /n= Р (А) и т₂/n= Р (В), окончательно получим P(A+B)=P(A) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:P(A1+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы

Р (А + В + С) = Р [(A + В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.

6. Произведение событий

Вероятность произведения событий. Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)P_A(B).

Доказательство. По определению условной вероятности, P_A(B)=P(AB)/P(A). Отсюда P(AB)=P(A)P_A(B).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: P(A₁A₂A₃…A_n)=P(A₁)P_A1(A₂)P_A1A2(A₃)…P_A1A2…An-1(A_n), где P_A1A2…An-1(A_n) ­ вероятность события A_n, вычисленная в предположении, что события A₁A₂…A_n-1 наступили. В частности для трех событий P(ABC) = P(A) P_A(B)P_AB(C). Порядок расположения событий не важен.