Распределение Пуассона. При больших n использовать ф-лу Бернулли не удобно

При больших n использовать ф-лу Бернулли не удобно.

Теорема. Если вер-сть р наступления соб. А в каждом испытании →к 0 при n→∞, причем произведение np →к постоянному числу λ, то вероятность Pm,n того, что соб. А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству . По ф-ле Бернулли Pm,n= p^mq^n-m; =n!\(n-m)!m!=n(n-1)...(n-m+1)\m! – подставляем в ф-лу Бернулли и учитывая, что lim np= λ (при n→∞), т.е. при достаточно больших n, p≈ λ\n. Подставляем р^m= (λ\n)^m. Pm,n=(λ^m\m!)*[1*(1-1\n)(1-2\n)…(1-(m-1)\n)]*(1- λ\n)ⁿ(1- λ\n)^-m. Т.к. lim(1-1\n)=lim(1-2\n)=…=lim(1-(m-1)\n)=1 (при n→∞), а lim(1- λ\n)ⁿ=e^-λ и lim(1- λ\n)^-m=1, то limPm,n= λ^me^-λ\m! Но согласно условия теор Пуассона: р→0, n→∞, np→λ, λ≤10, то Pm,n≈ λ^me^-λ \ m!.

Определение Пусть где >0, к =0,1,2…

Тогда говорят, что случайная величина Х имеет пуассоновское распределение с параметром .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию такой слу­чайной величины. По определению имеем

Если в сумме k= 0, то соответствущее слагаемое равно нулю, так как 0! = 1. Поэтому

, (с учетом ).

^=о

Вычислим DX. Предварительно вычислим . Пользуясь тождеством имеем

Вторая сумма уже вычислена и равна , а первая равна

Поэтому