Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы событий

Вероятность суммы событий. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А + В наступил¹, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: А , В или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий, Р(А+В)=P (А )+P( В)+P (АВ). (*)

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: А или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Р(А) = Р(А ) + Р(АВ). Отсюда

Р(А ) = Р(А) — Р(АВ). (**)

Аналогично имеем Р(B) = Р( В) + Р(АВ)

Отсюда Р( В) = Р(B) — Р(АВ) (***)

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (****)

. Замечание I. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А)Р(В);

для зависимых событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) -Р (А) Р_A (В).

Замечание 2. Если события А и В несовместны, то их совмещение есть невозможное событие и, следовательно, P(AB)=0. Формула (****) для несовместных событий примет вид P(A+B)=P(A)+P(B).