Сходимость по распределению

9.1. Пусть на (Ω, F, P) задана последовательность случайных элементов со значениями в , где E - польское пространство, т.е. полное сепарабельное метрическое пространство, а алгебра на E.

Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов со значениями в E сходится по распределению при к случайному элементу со значениями в E и обозначать , если для любой функции С_b(E), где С_b(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R¹, справедливо () = M ().

Определение. Семейство вероятностных мер на называется слабо сходящимся к некоторой мере P₀ и обозначается
P _n P ₀ , если для любой С_b(E)

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 35. Пусть - семейство случайных элементов, а соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда P _n P _о, т.е. () = M (), для С_b(E).

9.2. Определение. Семейство вероятностных мер { P _n}_{n > 1} на называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.

Определение. Семейство вероятностных мер { P _n}_{n > 1} называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что Р_n ( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства { P _n}_{n > 1}.

Предложение 36. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство { P _n}_{n > 1} плотно.

9.3. Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Теорема 37 (Прохоров) Пусть { P _n}_{n > 1} – семейство вероятностных мер на . { P _n}_{n > 1} – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

9.4. Теорема 38. Справедливы следующие импликации:

1) , 2) ,

3) .

Доказательство этого утверждения можно найти например в [ 1 ].