Следующее утверждение хорошо известно [1]

Теорема 15. Справедливы следующие утверждения.

Для того, чтобы , необходимо и достаточно, чтобы для любого при .

Пусть , тогда .

Пусть ., тогда существует подпоследовательность такая, что .

Замечание. Так как для любого =
, то условие является достаточным для сходимости .

6.3. Теорема 16. (Егорова) Пусть . Тогда для любого существует измеримое множество такое, что > , причем на множестве сходимость равномерная.

Задача. Докажите самостоятельно утверждение теоремы 16.

6.4. Мы часто будем использовать следующее утверждение.

Лемма 17. (Бореля-Кантелли) Пусть последовательность событий и . Если , то Р( А ) = 0.

Доказательство. В силу свойства вероятности имеем

Р (А) = .

Доказательство закончено.