Интеграл Лебега. Математическое ожидание

5.1. Пусть (, F, P) - конечное вероятностное пространство, т.е. существует набор множеств таких, что при и , а - простая случайная величина.

Определение. Математическим ожиданием простой случайной величины , обозначаемым через М , называется величина M P (A _k). Это определение корректно, так как оно не зависит от способа представления случайной величины . Для математического ожидания будем использовать следующее обозначение: P P.

5.2. Дадим определение математического ожидания для случайной величины . В силу теоремы 9 существует монотонная последовательность простых неотрицательных случайных величин таких, что при для каждого . Очевидно, что M M , поэтому существует M (причем он может принять значение ).

Определение. Интеграл Лебега относительно вероятностной меры Р случайной величины , обозначаемый М , определяемый равенством M M называется математическим ожиданием случайной величины .

Это определение будет корректным, если значение предела не зависит от способа выбора аппроксимирующей последовательности (иначе говоря, если и , то M = M ).

Лемма 13. Пусть - простые неотрицательные случайные величины , причем . Тогда M ≥ M .

Доказательство. Пусть и . Ясно, что и ,

где , 1_B , B F.
Поэтому

где .

Следовательно . Доказательство закончено.

Замечание. Из утверждения леммы 13 следует, что . В силу симметрии имеем . Отсюда вытекает корректность определения.

5.3. Пусть теперь - произвольная случайная величина. Обозначим .

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины существует, если хотя бы одна из величин или конечна, т.е. . В этом случае по определению полагается , а - называется интеграл Лебега от по мере Р.

Определение. Говорят, что математическое ожидание случайной величины конечно, если и . Отсюда следует, что - конечно тогда и только тогда, когда .

Наряду с можно рассматривать и , если они определены, то их называют моментами - порядка, где r = 1,2,…,k.

5.4. Свойства математического ожидания.

А) Пусть и у случайной величины существует , тогда существует и .

Доказательство. Для простых функций это утверждение очевидно. Пусть , где - простые случайные величины и , следовательно . Значит .

В) Пусть , тогда .

С) Если существует , то .

Доказательство. Так как , то из А) и В) следует, что , то есть .

D) Если существует , то для каждого A F существует . Если конечно, то - конечно.

Доказательство следует из пункта В), так как , .

Е) Если и - случайные величины, причем и , то .

Доказательство. Пусть и - последовательность простых функций таких, что и . Тогда и . Кроме того и . Значит .

F) Если , то .

G) Если , Р- п.н. и , то и .

Доказательство. Пусть , тогда , где . В силу Е) .

Н) Пусть и , тогда Р - п.н.

Доказательство. Обозначим . Очевидно, что . поэтому в силу свойства В) , следовательно , значит для всех , но .

I) Пусть и - случайные величины такие, что и и для всех . Тогда Р - п.н..

Доказательство. Пусть . Тогда . Поэтому , тогда по свойству Е) , а в силу Н) P - п.н., значит Р (В)=0.

J) Пусть - расширенная случайная величина и , тогда P - п.н..

Доказательство. Действительно, пусть и Р (А) > 0. Тогда , что противоречит предположению .

§ 6. Сходимость последовательностей случайных величин по вероятности и почти наверное.

6.1. Пусть на задано последовательность случайных величин.

Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине , обозначается или , если для при .

Теорема 14. Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине тогда и только тогда, когда при .

6.2. Определение. Последовательность случайных величин называется сходящейся с вероятностью 1 к случайной величине , если , обозначается .