Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла

7.1. Теорема 18 (О монотонной сходимости) Пусть

случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если ;

б) если .

Доказательство. а) Предположим, что . Пусть для каждого - последовательность простых случайных величин таких, что при . Обозначим . Тогда очевидно, что . Пусть , поскольку для , то переходя к пределу при получим, что для любого , значит . Так как случайные величины простые и , то .

С другой стороны, очевидно, что . Поэтому , значит = .

Пусть теперь - случайная величина с . Если , то в силу свойства В) математических ожиданий = , утверждение доказано.

Пусть , тогда вместе с условием получаем: . Очевидно, что для всех . Поэтому, согласно доказанному и значит по свойству Е) математических ожиданий . Так как , то при .

Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.

7.2. Следствие 19. Пусть случайные величины. Тогда .

7.3. Теорема 20 (Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если то ;

б) если , то ,

в) если ,то .

Доказательство. а) Пусть . Тогда = . Ясно, что и для всех . Тогда по теореме 18 имеем

М М М . Таким образом а) –доказано.

Утверждения б) и в) доказываются аналогично.

7.4. Теорема 21 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н. и Тогда 1) , 2) при .

Доказательство. По условию Р - п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М М . Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства следует, что .

Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .

Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и для р>1. Тогда и .

Доказательство. Заметим, что , . Поэтому доказательство следует из теоремы 21.

7.5. Определение. Семейство случайных величин называется интегрируемым (р.и.), если когда или .

Очевидно, что если последовательность такая, что и , то семейство - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .

Теорема 23. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:

i) для любого существует такое , что и ;

ii) .

Доказательство. Для любой положительной случайной величины , множества и всех справедливо неравенство

+ .

Отсюда вытекает, что

+ (4)

Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что

и Р (А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить .

Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство

М . (5)

Если выполнено ii), то в силу (5) имеем

.

Если выполнено i), то возьмем такое, что для любых . Тогда для всех . Стало быть семейство -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

Предложение 24. Семейство случайных величин равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость очевидна, так как .

Достаточность. Обозначим р(с) . Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:

1) для всех с, поэтому ;

2)

. (6)

Пусть и выберем c таким, что р(c) , а таким, что . Тогда в силу (6) для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

7.6. Приведем теперь достаточное условие равномерной интегрируемости.

Теорема 25. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а - возрастающая функция такая, что и . Тогда семейство - равномерно интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Выберем для число большим таким, что . Тогда равномерно по n. Доказательство закончено.

Следствие 26. Пусть последовательность случайных величин такая, что , где . Тогда последовательность - равномерно интегрируема.

Доказательство. Действительно из неравенства вытекает равномерная интегрируемость. Доказательство закончено.

Следствие 27. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда .

Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22 для любого конечного

=

+ . Доказательство закончено.

7.6. Теорема 28. Пусть - семейство равномерно интегрируемых случайных величин. Тогда справедливы утверждения.

1) ;

2) Если , тогда i) случайная величина - интегрируема, ii) при , iii) при .

Доказательство. а) Для всякого

. (7)

В силу равномерной интегрируемости для величину с можно выбрать сколь угодно большой, такой что . Поэтому по лемме Фату , но , значит
. (8)

Из (7) и (8) следует, что . В силу произвольности следует, что . Аналогичным образом доказываются другие неравенства. Утверждение пункта б) следует из а) в силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости.

7.7. Из теорем 23 и 28 следует утверждение.

Теорема 29. Пусть и . Тогда тогда и только тогда, когда - равномерно интегрируема. (Без доказательства)