Сходимость в пространстве Lp

8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать , . Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .

Из этих определений следует, что: а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .

8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .

В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.

8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .

Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) - сходящаяся в последовательность,

2) при .

8.4. Из результатов §7 следует утверждение.

Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

последовательность - равномерно интегрируема и ;

и .

Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.

8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.

Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р -п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) ;

2) и .

Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .

2) Пусть и , тогда .

8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .

Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .

Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.

Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.