Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
8.1. Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать , . Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .
Из этих определений следует, что: а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .
8.2. Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .
В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.
8.3. Приведем теперь без доказательства критерий Коши сходимости в .
Теорема 30. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
1) - сходящаяся в последовательность,
2) при .
8.4. Из результатов §7 следует утверждение.
Теорема 31. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:
последовательность - равномерно интегрируема и ;
и .
Доказательство этого утверждения следует из неравенства и теоремы 26.
8.5. Из теоремы 31 вытекают следующие утверждения.
Следствие 32. Пусть выполнены условия теоремы 31. Пусть существует мажорирующая Р -п.н. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) ;
2) и .
Следствие 33. 1) Пусть и , тогда .
2) Пусть и , тогда .
8.6. Опишем теперь слабую сходимость в .
Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .
Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.
Теорема 34. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 268 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!