![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Примеры -алгебр:
1) =(0,
) – бедная
алгебра,
2) ={ A:A
} - богатая
алгебра,
3) ={ A:, A, 0,
} называют алгеброй, порожденной множеством А.
Вопрос: Когда алгебра А () будет являться
алгеброй F?
Определение. Система М () подмножеств
называется монотонным классом, если из того, что А
М (
) n=1,2,.. и
, т.е.
и
следует, что
М (
).
Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А () была
алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.
2.1. Измеримое пространство (R1, B (R1))
Пусть R1 =(- ,
] – действительная прямая и (a,b ] = {
R1:
} для всех
. Обозначим через А (R1) систему множеств в R1, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b ]:
А (R1), где
. Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также
– образуют алгебру – А (R1), которая не является
алгеброй, так как
А (R1), но
А (R1).
Определение. B (R1) – наименьшая алгебра, порожденная А (R1) называется борелевской
алгеброй, а ее множества – борелевскими.
Если обозначить через систему интервалов (a,b ], а через
- наименьшую
алгебру содержащую
. Нетрудно установить B (R1)=
.
Из каких элементов B (R1)? Из предыдущих построений следует, что B (R1) состоит из интервалов вида , где
, и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:
i) ii)
iii)
2.2. Измеримое пространство (Rn, B (Rn))
Пусть Rn = R R
…
R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов
, где
,
.
Множество где
, называется прямоугольником, то есть,
Rn:
, а
- его сторонами.
Через (Rn) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rn.
(Rn) - наименьшая
алгебра порожденная
- называется борелевской
алгеброй множеств Rn, которую и обозначим через B (Rn).
2.3. Измеримое пространство (R , B (R
))
R - пространство числовых последовательностей
где -
,
Пусть
- борелевское множество к -ой числовой прямой (то есть, множество
B (R1)). Рассмотрим множества:
i) R
:
};
ii) R
:
};
iii) B (R
)
R
:
.
Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества
,
,
образуют алгебру. Обозначим наименьшие
алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R
), B 1(R
), B 2(R
), соответственно. Можно показать, что эти
алгебры совпадают.
2.4. Измеримое пространство (RТ , B (RТ))
Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство RТ – совокупность действительных функций на T со значениями в R1, обозначенные
. Для простоты будем считать, что
. Обозначим:
, где
. Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить
алгебру борелевских множеств на RТ, порожденную цилиндрическими множествами
и обозначаемую через B (RТ).
Возникает вопрос: какова структура множества B (RТ)? Оказывается, что любое множество
B (RТ) допускает представление
, где
B (R
). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t
Т необязаны быть измеримыми относительно B (RТ). Например: i)
},
,
ii)
- непрерывные в точке
.
В связи с неизмеримостью некоторых множеств из RТ по отношению к B (RТ) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.
2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).
Пусть Т =[0,1], С [0,1] - пространство непрерывных функций xt, t [0,1], со значениями в R1. Очевидно, С [0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)=
, то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:
ρ (х,у)= 0 x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у)
ρ (x,z)+ ρ(z,y).
Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.
2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).
D – пространство функций xt, t [0,1], со значениями в R1, непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t
[ 0,1 ]. В нем также можно ввести метрику:
ρs(x,y) inf {
,
где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций
, причем
и
}.
-алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.
§ 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.
3.1. Измеримое пространство (R1,B(R1)).
Пусть F: R1 [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:
1) неубывающая;
2) F(- )= 0 F(
)= 1, где F(-
)=
и F(
) =
;
3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R1.
Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R1.
Теорема 3. Пусть - функция распределения на R1, тогда на (R1, B(R1)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых
, причем
, Р
Пример: пусть функция распределения имеет вид:
=
Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ
Приведем классификацию мер на (R1, B (R1)).
3.1.1. Дискретные меры.
Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках
х1,х2, …, причем
где
Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х1,х2, …, причем Р
.
Набор чисел где
- называется дискретным распределением.
Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.
Распределение | ![]() | Параметры |
1. Дискретное равномерное | ![]() | ![]() |
2. Бернулли | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
3. Биноминальное ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
4. Пуассоновское Пк ![]() | Пk ![]() ![]() | ![]() |
5. Геометрическое = ![]() | ![]() | ![]() ![]() |
6. Отрицательное биноминальное ![]() | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
3.1.2. Абсолютно непрерывные меры.
Пусть существует неотрицательная функция
такая, что функция распределения
допускает представление:
Функцию
(
) называют плотностью функции распределения
.
Пример: Функцию ,
называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что
3.1.3. Сингулярные распределения.
Определение. Точка называется точкой роста функции распределения
, если
для любого
.
Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.
Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения
с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим
на 3 равные части и определим - функцию распределения
следующим образом:
= 0, при x < 0;
=
x, при x
[0,
);
=
, при x
[
,
);
=
x –
, при x
[
,1);
= 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов
и
опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения
следующим образом:
= 0, при x < 0;
=
x, при x
[0,
);
=
при x
[
,
];
=
x -
, при x
[
,
];
=
при x
[
,
);
=
x – 1, при x
[
,
);
=
при x
[
,
);
=
x -
, при x
[
,1].
Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при
к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения
. Очевидно, что точки роста функции распределения
имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых
принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции
равна
Пусть - множество точек роста функции распределения
, тогда из последнего рассуждения следует, что
(в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега
).
Теорема 4. (Лебега) Любая функции распределения на прямой R1 представима в виде:
,
где и
, а
- дискретная,
- абсолютно непрерывная,
- сингулярная функции распределения.
3.2. Измеримое пространство (Rn,B(Rn)).
Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор
, действующей по правилу
.
Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:
1) для любых
, i =
;
2) ;
3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора
принимает значение
,
называется -мерной функцией распределения.
Очевидно следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть -
-мерная функция распределения. Тогда на (Rn,B(Rn)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что
, где
,
.
Примеры. 1) Пусть
=
мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на
.
2) ,где
.
3.3. Измеримое пространство (R ,B(R
))
Обозначим через R
:(
)
, где
Rn – цилиндрическое множество в
с основанием
B(Rn). Пусть последовательность вероятностных мер
определенных, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладает следующим свойством:
(1)
где ,
.
Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.
Теорема 5. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R , B(R
)). Пусть
- последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R1, B(R1)), (R2, B(R2)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R
, B(R
)) такая, что для каждого
P
P
для
.
3.4. Измеримое пространство (RТ , B(RТ))
Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов
R t - числовая прямая, соответствующая индексу
. Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор
различных индексов
, и пусть P t - вероятностная мера на (R
,B(R
)), где R
= R
R
.
Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер (
- пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов
и
причем
, выполняется равенство
,
где , б) выполнено (1).
Теорема 6. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на
(RТ ,B(RТ))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R
,B(R
)). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (RТ ,B(RТ)) такая, что
для всех неупорядоченных наборов
различных индексов
и
B(R
).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 315 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!