Измеримые пространства

Примеры -алгебр:

1) =(0, ) – бедная алгебра,

2) ={ A:A } - богатая алгебра,

3) ={ A:, A, 0, } называют алгеброй, порожденной множеством А.

Вопрос: Когда алгебра А () будет являться алгеброй F?

Определение. Система М () подмножеств называется монотонным классом, если из того, что А М () n=1,2,.. и , т.е. и следует, что М ().

Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А () была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.

2.1. Измеримое пространство (R¹, B (R¹))

Пусть R¹ =(- , ] – действительная прямая и (a,b ] = { R¹: } для всех . Обозначим через А (R¹) систему множеств в R¹, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b ]: А (R¹), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А (R¹), которая не является алгеброй, так как А (R¹), но А (R¹).

Определение. B (R¹) – наименьшая алгебра, порожденная А (R¹) называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.

Если обозначить через систему интервалов (a,b ], а через - наименьшую алгебру содержащую . Нетрудно установить B (R¹)= .

Из каких элементов B (R¹)? Из предыдущих построений следует, что B (R¹) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i) ii) iii)

2.2. Измеримое пространство (Rⁿ, B (Rⁿ))

Пусть Rⁿ = R R … R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rⁿ: , а - его сторонами.

Через (Rⁿ) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rⁿ. (Rⁿ) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rⁿ, которую и обозначим через B (Rⁿ).

2.3. Измеримое пространство (R , B (R ))

R - пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к -ой числовой прямой (то есть, множество B (R¹)). Рассмотрим множества:

i) R : };

ii) R : };

iii) B (R ) R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R ), B ₁(R ), B ₂(R ), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

2.4. Измеримое пространство (R^Т , B (R^Т))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство R^Т – совокупность действительных функций на T со значениями в R¹, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим: , где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на R^Т, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B (R^Т).

Возникает вопрос: какова структура множества B (R^Т)? Оказывается, что любое множество B (R^Т) допускает представление , где B (R ). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B (R^Т). Например: i) }, ,
ii) - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из R^Т по отношению к B (R^Т) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

2.5. Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).

Пусть Т =[0,1], С [0,1] - пространство непрерывных функций x_t, t [0,1], со значениями в R¹. Очевидно, С [0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

ρ (х,у)= 0 x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.

2.6. Измеримое пространство (D,B(D)).

D – пространство функций x_t, t [0,1], со значениями в R¹, непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t [ 0,1 ]. В нем также можно ввести метрику:

ρ_s(x,y) inf { ,
где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту 2.4.

§ 3. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах.

3.1. Измеримое пространство (R¹,B(R¹)).

Пусть F: R¹ [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:

1) неубывающая;

2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= и F() = ;

3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R¹.

Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R¹.

Теорема 3. Пусть - функция распределения на R¹, тогда на (R¹, B(R¹)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р

Пример: пусть функция распределения имеет вид:

=

Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ

Приведем классификацию мер на (R¹, B (R¹)).

3.1.1. Дискретные меры.

Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х₁,х₂, …, причем где Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х₁,х₂, …, причем Р .

Набор чисел где - называется дискретным распределением.

Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.

Распределение		Параметры
1. Дискретное равномерное
2. Бернулли		- вероятность успеха,
3. Биноминальное		,
4. Пуассоновское Пк	Пk
5. Геометрическое =
6. Отрицательное биноминальное

3.1.2. Абсолютно непрерывные меры.

Пусть существует неотрицательная функция такая, что функция распределения допускает представление:

Функцию () называют плотностью функции распределения .

Пример: Функцию , называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что

3.1.3. Сингулярные распределения.

Определение. Точка называется точкой роста функции распределения , если для любого .

Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.

Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F _o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения следующим образом:
= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = , при x [ , ); = x – , при x [ ,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов и опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения следующим образом:

= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = при x [ , ]; = x - , при x [ , ]; = при x [ , ); = x – 1, при x [ , ); = при x [ , ); = x - , при x [ ,1].

Продолжая этот процесс далее мы построим последовательность функции распределения , которая, очевидно, сходится при к некоторой неубывающей непрерывной функции распределения . Очевидно, что точки роста функции распределения имеет нулевую меру Лебега, так как общая длина интервалов, на которых принимает постоянные значения равна 1. Действительно, общая длина интервалов постоянства функции равна

Пусть - множество точек роста функции распределения , тогда из последнего рассуждения следует, что (в этих случаях говорят, что мера, соответствующая этой функции распределения сингулярна по отношению к мере Лебега ).

Теорема 4. (Лебега) Любая функции распределения на прямой R¹ представима в виде:

,

где и , а - дискретная, - абсолютно непрерывная, - сингулярная функции распределения.

3.2. Измеримое пространство (Rⁿ,B(Rⁿ)).

Пусть - измеримая функция, непрерывная справа (по совокупности измененных), имеющая левый предел. Введем оператор , действующей по правилу

.

Определение. Всякая непрерывная справа функция удовлетворяющая условиям:

1) для любых , i = ;

2) ;

3) , если хотя бы одна из координат n-мерного вектора принимает значение ,

называется -мерной функцией распределения.

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть - -мерная функция распределения. Тогда на (Rⁿ,B(Rⁿ)) существует единственная вероятностная мера Р такая, что , где , .

Примеры. 1) Пусть

=

мерная функция распределения вероятностей, которой соответствует мера Лебега на .

2) ,где

.

3.3. Измеримое пространство (R ,B(R ))

Обозначим через R :() , где Rⁿ – цилиндрическое множество в с основанием B(Rⁿ). Пусть последовательность вероятностных мер определенных, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладает следующим свойством:

(1)

где , .

Условие (1) называют условием (свойством) согласованности.

Теорема 5. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на (R , B(R )). Пусть - последовательность вероятностных мер, соответственно, на (R¹, B(R¹)), (R², B(R²)), обладающая свойством согласованности. Тогда существует единственная мера Р на (R , B(R )) такая, что для каждого P P для .

3.4. Измеримое пространство (R^Т , B(R^Т))

Пусть Т=[0,T] – произвольное множество индексов R _t - числовая прямая, соответствующая индексу . Рассмотрим произвольный конечный неупорядоченный набор различных индексов , и пусть P _t - вероятностная мера на (R ,B(R )), где R = R R .

Определение. Будем говорить, что семейство вероятностных мер ( - пробегает множество всех конечных неупорядоченных наборов), является согласованным, если а) для любых двух наборов и причем , выполняется равенство

,

где , б) выполнено (1).

Теорема 6. (Колмогорова о продолжении вероятностной меры на

(R^Т ,B(R^Т))). Пусть - согласованное семейство вероятностных мер на (R ,B(R )). Тогда существует единственная вероятностная мера Р на (R^Т ,B(R^Т)) такая, что для всех неупорядоченных наборов различных индексов и B(R ).