Аксиоматика Колмогорова

Глава 1. Основания теории случайных процессов.

Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:

а) , ;

б) А А А ;

в) А А

Определение. Пусть А - алгебра подмножества множества . Функция : А где , называется конечно аддитивной мерой на А , если А выполняется

Конечно аддитивная мера называется конечной, если . Конечная мера называется вероятностной, если .

Определение. Тройка А , Р), где - некоторое множество, А - алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А , называется вероятностной моделью в широком смысле.

Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.

Определение. Система F - подмножеств множества называется алгеброй, если:

она является алгеброй,

, для то и .

Определение. с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (, F).

Определение. Конечно аддитивная мера задана на А называется счетно аддитивной ( аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А₁, А₂, … из А таких, что А, следует, что

Счетно аддитивная мера на F называется конечной, если можно представить в виде где А с

Счетно аддитивная мера Р на алгебре А , удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А .

Приведем некоторые свойства вероятностных мер:

1)

2) если А Р Р Р Р .

3) если А и Р Р .

4) Если А n=1,2,.. и А Р .
Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно.
Доказательство свойства 4. Заметим, что , где при и , .Очевидно, что при и так как , то имеем .

Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?

Теорема 1. Пусть P - конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1. Тогда следующее утверждения эквивалентны:

P - аддитивна;

Р – непрерывна сверху (то есть, если =1,2,…,где А ,

такие что и А , то ;

3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А , =1,2,… и А , то ;

4) Р – непрерывна в нуле (если А , =1,2,…, и Ø, то .

Определение. Тройка (, F, Р) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества – событиями, где F - алгебра на , а Р (А) – вероятностью события А.