Приближенные вычесления с использованием степенных рядов

Для вычисления приближенного значения функции f (x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n – конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить сумму отброшенных членов.

Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Если данный ряд знакочередующийся и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то используется оценка , где u_{n +1} – первый из отброшенных членов ряда.

Для вычисления логарифмов эффективна формула

. (53)

Ряд в квадратных скобках сходится тем быстрее, чем больше t.

Диференциальные уравнения,основные понятия. Задача коши

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степенью дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) -ого порядка — это уравнение вида

где — неизвестная функция. ешением дифференциального уравнения называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций (такое параметризованное семейство рещений называется общим решением дифференциального уравнения), и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Полученное единственное решение называется частным решением. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения -ого порядка может быть выражено в виде

где , - произвольные постоянные.

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y (x) уравнения

F (x, y (x), y '(x), y ''(x), …, y ⁽ⁿ⁾(x)) = 0, x > x ₀,

удовлетворяющего условиям

y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₁, y ''(x ₀) = y ₂, …, y ^{(n − 1)}(x ₀) = y_{n − 1}.

Условия y (x ₀) = y ₀, y '(x ₀) = y ₁, y ''(x ₀) = y ₂, …, y ^{(n − 1)}(x ₀) = y_{n − 1} называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.