Производная и дифференциал. Определение

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени.

Дифференциал - линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.

Дифференциалом функции (обозначается через) называется следующее выражение:

где dx -- дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

Предположим, что существует следующее равенство функций:

тогда дифференциал от равенства есть