Метод обратной функции

Случайные числа являются основой для получения величин, распределенных по заданным законам. Простейшим и наиболее фундаментальным методом, на основе которого генерируются подобные величины, является метод обратной функции. В основе этого метода лежит тот факт, что случайная величина R=F(X) равномерно распределена на интервале [0,1]. Другими словами, для генерации случайной величины из распределения Х генерируется случайное число r и решается уравнение r=F(x) относительно значения x=F^-1(r). Доказательство состоятельности метода очевидно [10,22] и основано на следующих соображениях. Пусть R=F(X) имеет функцию распределения G(.). Тогда для 0 r 1 имеем

.

Следовательно, R равномерно распределена на интервале [0,1]

Для иллюстрации метода на примере непрерывного распределения рассмотрим генерацию экспоненциально распределенной случайной величины. Функция экспоненциально распределенной случайной величины. Функция экспоненциального распределения имеет вид , где — математическое ожидание. Приравнивая F(x)=r и решая уравнения относительно х, получаем

Если r равномерно распределена на интервале [0,1], из данного уравнения вытекает, что х распределена экспоненциально с ожиданием, равным .

Данный метод применим также и для дискретных распределений. Рассмотрим, например, следующую функцию вероятности:

Кумулятивная функция распределения F(x) показана на рис.2.5 для получения случайной величины из этого распределения необходимо на интервале от 0 до 1 сгенерировать случайное число и нанести его на ось ординат на графике функции распределения. Проведя горизонтальную прямую из этой точки до линии графика функции F(x), а затем проведя вертикальную прямую из этой точки до оси абсцисс, получаем результирующую случайную величину. Например, случайное число 0,81 даст случайную величину, равную 2. Очевидно, что при такой процедуре 25% случайных чисел попадет на интервал (0;0,25), 50% — на интервал (0,25;0,75) и 25%—на интервал (0,75;1,00) в соответствии с заданной функцией распределения. При этом необходимо принять некоторое правило определения результирующей величины для случайных чисел, попадающих в точки разрыва функции.

Рис. 2.5. Иллюстрация метода обратной функции для получения выборки из заданного распределения

Затруднения при использовании метода обратной функции происходят обычно при поиске обратного преобразования . В ряде случаев метод приводит к простым преобразованиям, подобным тем, что были проделаны для экспоненциального распределения. Тем не менее для ряда непрерывных распределений представление обратной функции в явном виде отсутствует. К счастью, для всех основных распределений, не имеющих явного представления обратной функции, разработаны специальные методы генерации.