Схема решения уравнения методом половинного деления

1. Отделяем корни уравнения (1). Для этого устанавливаем промежутки, в которых функция f (x) имеет единственный нуль и на его концах принимает значения разных знаков. С этой целью используем графические построения или составляем таблицу значений функции. Обозначим такой отрезок символом σ ₀.

2. Разделим этот отрезок пополам. Если в середине отрезка функция f (x) равна нулю, уравнение (1) решено. В противном случае на концах одного из полученных половинных отрезков f (x) вновь принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок символом σ ₁ и вновь разделим его пополам. Если в середине σ ₁ функция f (x) равна нулю, то уравнение (1) решено. В противном случае продолжим указанную процедуру. Таким образом, мы либо на каком–то этапе получим точку, в которой f (x) = 0, т.е. точное решение уравнения (1), либо получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σ ₀  σ ₁  …, на каждом из которых f (x) имеет значения разных знаков. В этом случае можно заключить искомый корень уравнения (1) в промежуток произвольной длины и, следовательно, вычислить этот корень с любой заданной точностью.

Замечание. Метод неприменим для отыскания корней четной кратности.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она принимает на (a, b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).

Доказательства теорем приведены в книге Л.Д. Кудрявцева “Краткий курс математического анализа”. Т.1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. Стр.122–124.