Непрерывность сложных и обратных функций

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Всевозможные арифметические комбинации простейших элементарных функций, которые рассматривают в школьном курсе алгебры и начал анализа, мы будем называть элементарными функциями. Например, является элементарной.

Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что всюду непрерывна, так как всюду определена, а функция разрывна в точке .

Дадим теперь классификацию точек разрыва функции. Возможны следующие случаи.

1. Если и существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку называют точкой разрыва первого рода. При этом величину называют скачком функции в точке .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке , где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

Найдем левосторонний предел функции при . Cлева от точки , т.е. при , а .

Справа от точки . Тогда . Значение функции в точке , т.е. . Функция в точке имеет разрыв первого рода. Это видно и на графике функции (рис. 25).

Рис. 25

2. Если в точке , но в точке функция либо не определена, либо , то точка является точкой устранимого разрыва.

Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке функция.

Пример. Функция в точке не определена, но , т.е. . Доопределим функцию в точке 1, положив ее значение в этой точке равным трем. Тогда функция становится непрерывной в точке .

3. Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

Пример. Функция в точке имеет разрыв второго рода, так как и .

Пример. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция не определена в точке . Тогда , . И функция в точке имеет разрыв второго рода.

Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую запись которая означает, что знаменатель такой дроби стремится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.