 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Основные свойства производных
|
|
| Если в точке x существуют конечные производные функций v = v (x) и u = u (x), |
то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:
| 1. | 
| ||||
| 2. | 
| ||||
| 3. | 
| ||||
| 4. | 
| (при | 
| ); | |
| 5. | 
| 
| |||
1. Производная сложной функции
| Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0, а функция y = g (x) имеет производную |
| в точке y 0 = f (x 0), то сложная функция h (x) = g (f (x)) |
также имеет производную в точке x0, причем
2. Достаточное условие монотонности функции
| Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство |
| то функция y = f (x) возрастает на этом интервале. |
| Если | 
| при | 
| то y = f (x) убывает на (a; b). |
3. Необходимое условие экстремума функции
| Если точка x0 является точкой экстремума функции y = f (x) и в этой точке |
| существует производная | 
| то она равна нулю |
.
4. Признак максимума функции
| Если функция y = f (x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке |
| имеет производную | 
| на интервалах | 
| 
| и |
| на интервале | 
| и | 
| на интервале | 
| то точка |
| x0 является точкой максимума функции | 
|
5. Признак минимума функции
| Если функция | 
| определена на интервале | 
| непрерывна в | ||||||||||||
| точке |
| имеет производную |
| на интервалах |
| |||||||||||
|
| и |
| на интервале |
| и |
| на интервале | |||||||||
|
| то точка x0 является точкой минимума функции |
| ||||||||||||||
Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек из области определения, в которых производная функции обращается в ноль или не существует), нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.
20. Производные основных элементарных функций.
Производные тригонометрических функций (sin х)' = cos x, (cos х)' = -sin х, 
Производную у = sin x найдем с помощью определения производной и I замечательного предела:
Производная у = cos х находится с помощью формул приведения и производной функции: 
Производные у = tg х, у = ctg x могут быть найдены как производные частного. Например,
Производные обратных тригонометрических функций:
Т: Пусть функция 
возрастает (убывает) на 
дифференцируема внутри промежутка и 
Тогда существует возрастающая (убывающая) на 
диф-
ференцируемая обратная к 
функция 
причем 
Первая часть теоремы о существовании непрерывной функции 
геометрически очевидна (рис. 9.3).
Выведем формулу для производной. По определению
Рис. 9.3
В цепочке равенств использовали 
— непрерывна).
Получим теперь формулу для производной функции у = arcsin х.
Рассмотрим главное значение функции: 
Она является
обратной к х = sin у, которая возрастает и дифференцируема на
причем 
По теореме об обратной
функции имеем
Найдем формулу для производной у = arctg x, главное значение которой 
Пользуясь теоремой об обратной функции, получаем
Для функций у = arcccos х, у = arcctg х производим аналогичные действия.
| 21. Производная сложной функции |
"Двухслойная" сложная функция записывается в виде
где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция  также дифференцируема по x и ее производная равна
Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".
|
| Пример 1 |
Найти производную функции  .
Решение.
Поскольку  , то по правилу производной сложной функции получаем
|
| Пример 2 |
Найти производную функции  .
Решение.
Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна  . Тогда
|
| Пример 3 |
Определить производную функции  .
Решение.
Применим формулы производной сложной функции и производной частного.
|
| Пример 4 |
Продифференцировать функцию  .
Решение.
Сначала найдем производную произведения:
Далее, по формуле производной сложной функции
|
| Пример 5 |
Продифференцировать  .
Решение.
Здесь мы опять имеем дело с "трехслойной" функцией. Поэтому дважды применяем формулу производной сложной функции. Получаем
|
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 754 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
