Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Основные свойства производных

⇐ Предыдущая40414243444546474849Следующая ⇒


Если в точке x существуют конечные производные функций v = v (x) и u = u (x),

то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:

1.
2.
3.
4. (при );
5.
           

1. Производная сложной функции

Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0, а функция y = g (x) имеет производную
в точке y 0 = f (x 0), то сложная функция h (x) = g (f (x))

также имеет производную в точке x0, причем

2. Достаточное условие монотонности функции

Если в каждой точке интервала (a; b) выполнено неравенство

то функция y = f (x) возрастает на этом интервале.
Если при то y = f (x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции

Если точка x0 является точкой экстремума функции y = f (x) и в этой точке
существует производная то она равна нулю

.

4. Признак максимума функции

Если функция y = f (x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке
имеет производную на интервалах и
на интервале и на интервале то точка
x0 является точкой максимума функции

5. Признак минимума функции

Если функция определена на интервале непрерывна в
точке имеет производную на интервалах
и на интервале и на интервале
то точка x0 является точкой минимума функции
                                 

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек (точек из области определения, в которых производная функции обращается в ноль или не существует), нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее из полученных чисел.

20. Производные основных элементарных функций.

Производные тригонометрических функций (sin х)' = cos x, (cos х)' = -sin х,

Производную у = sin x найдем с помощью определения производной и I замечательного предела:

Производная у = cos х находится с помощью формул приведения и производной функции:

Производные у = tg х, у = ctg x могут быть найдены как производные частного. Например,

Производные обратных тригонометрических функций:

Т: Пусть функция возрастает (убывает) на

дифференцируема внутри промежутка и Тогда существует возрастающая (убывающая) на диф-

ференцируемая обратная к функция причем

Первая часть теоремы о существовании непрерывной функции геометрически очевидна (рис. 9.3).

Выведем формулу для производной. По определению

Рис. 9.3

В цепочке равенств использовали — непрерывна).

Получим теперь формулу для производной функции у = arcsin х.

Рассмотрим главное значение функции: Она является

обратной к х = sin у, которая возрастает и дифференцируема на

причем По теореме об обратной

функции имеем

Найдем формулу для производной у = arctg x, главное значение которой Пользуясь теоремой об обратной функции, получаем

Для функций у = arcccos х, у = arcctg х производим аналогичные действия.

⇐ Предыдущая40414243444546474849Следующая ⇒


Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 731 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.01 с)...