Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

· Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

· Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

· Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

· Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1   Исследовать функцию на непрерывность. Решение. Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. Пример 2   Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0. Решение. Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0. Так как , то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию которая будет непрерывной при любом действительном x. Пример 3   Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределеы при x = 0. Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва. Пример 4   Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение. Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке. Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).

Рис.2		Рис.3

Пример 5   Найти точки разрыва функции , если таковые существуют. Решение. Функция определена и непрерывна при всех x, за исключением точки , где существует разрыв. Исследуем точку разрыва. Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.

17. Непрерывность функции на отрезке

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ].