![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
или
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая , получим:
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины
возрастают. Поэтому последовательность
— возрастающая, при этом
(2).
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
.
Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
.
Поэтому (3).
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):
.
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:
, где
— это целая часть x.
Отсюда следует: , поэтому
.
Если , то
. Поэтому, согласно пределу
, имеем:
.
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .
2. Пусть . Сделаем подстановку
, тогда
.
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 916 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!