Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства

Определение 27 (бесконечно малая последовательность). Бе-
сконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть

lim _n ® Ґ x_n = 0

или более подробно с учетом определения предела " e>0 $ N: " n>N |x_n| < e Ю x_n.

Пример 20. Последовательность x_n = 1/n

является бесконечно малой последовательностью.

Определение 28 (бесконечно большая последовательность). x_n – бесконечно большая последовательность, если " c> 0 $ N: " n>N |x_n|>c.

Пример 21. Последовательности n, 2 ⁿ являются бесконечно большими.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Пример 22. Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1, x_2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).

Очевидно следующее утверждение.

Лемма 1. Если a _n — бесконечно малая последовательность, то 1 / a _n —бесконечно большая последовательность.

Пример 23. Пусть a_n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b _n = 1/a _n = n будет бесконечно большой.

Теорема 5. Для того чтобы последовательность { x_n } имела предел, равный A необходимо и достаточно, чтобы ее члены имели вид

x_n = A+ a _n,

где lim _n ® Ґ a _n = 0.

Справедливы следующие свойства бесконечно малых последовательностей, которые легко получить из определения бесконечно малой последовательности.

Теорема 6. (свойства бесконечно малых последовательностей)

1. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

2. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.