Интегрирование заменой переменной

Теорема 1: Пусть: 1) f(x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ]; 2) функция дифференцируема на [ ], причём непрерывна на [ ] и множеством значений функции является отрезок [ a, b ]; 3) . Тогда справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.

Пример 1.

Решение: Выполним подстановку . Тогда при х = 0 и при х = 1. Поскольку функция непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для неё, в силу теоремы 4 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

Пример 2.

Решение: Применим здесь подстановку Тогда при х = 0, при х = а. Подставляя всё это в исходный интеграл, получим

Пример 3.

Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Если использовать для интегрирования подстановку, например, , то получим:

.

Данный ответ неверный, так как при замене использовалась функция , имеющая разрыв на промежутке интегрирования (по теореме 1 функция должна быть непрерывна на этом промежутке).

Нельзя также использовать замену , так как на концах промежутка функция принимает одинаковые значения.

Можно использовать замену

Данный пример рассмотрен для наглядности, чтобы понять, какие замены можноиспользовать, а какие - нет.