![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1: Пусть: 1) f(x) – непрерывная функция на отрезке [ a, b ]; 2) функция дифференцируема на [
], причём
непрерывна на [
] и множеством значений функции
является отрезок [ a, b ]; 3)
. Тогда справедлива формула
(1)
Формула (1) называется формулой замены переменной или подстановки в определённом интеграле.
Пример 1.
Решение: Выполним подстановку . Тогда
при х = 0 и
при х = 1. Поскольку функция
непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для неё, в силу теоремы 4 существует первообразная на этом отрезке. Получаем
Пример 2.
Решение: Применим здесь подстановку Тогда
при х = 0,
при х = а. Подставляя всё это в исходный интеграл, получим
Пример 3.
Решение: По формуле Ньютона-Лейбница имеем
Если использовать для интегрирования подстановку, например, , то получим:
.
Данный ответ неверный, так как при замене использовалась функция , имеющая разрыв на промежутке интегрирования
(по теореме 1 функция должна быть непрерывна на этом промежутке).
Нельзя также использовать замену , так как на концах промежутка функция принимает одинаковые значения.
Можно использовать замену
Данный пример рассмотрен для наглядности, чтобы понять, какие замены можноиспользовать, а какие - нет.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 370 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!