![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Б о льшая часть интегралов, которые вычисляются посредством интегрирования по частям, может быть разбита на три группы:
1) интегралы представлены в виде ,
,
,
и т.д.
2) интегралы представлены в виде ,
,
и т.д.
3) интегралы представлены в виде ,
,
,
производится двукратное интегрирование по частям и решается уравнение относительно интеграла.
Примеры:
1) Интеграл, относящийся к первому виду.
,
2) Интеграл, относящийся ко второму виду.
3) Интеграл, относящийся к третьему виду.
В результате двойного интегрирования по частям получили исходный интеграл. Обозначим его за I. Тогда получаем уравнение:
Следовательно: +С.
Практические задания:
Найти неопределенный интеграл:
а) непосредственное интегрирование;
b) метод подстановки;
в) метод интегрирования по частям;
метод интегрирования по частям.
Тема 6: «Определённый интеграл».
Фигура на плоскости Оху, ограниченная графиком непрерывной и положительной функции на отрезке
, отрезком
и вертикальными прямыми
и
, называется криволинейной трапецией (рис.1).
Рис. 1 |
Y |
O |
a |
b |
y=f(x) |
X |
Величина площади криволинейной трапеции равна определённому интегралу от функции на отрезке
:
(1)
В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла
2. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница это основная формула интегрального исчисления:
где F(x) – первообразнаяфункции f(x). (1)
Пример 1. .
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямой
.
![]() |
О |
Х |
У |
Рис. 2 |
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
y=x2 |
![]() |
О |
Х |
У |
Рис. 3 |
3.
y=f(x) |
Y |
а |
X |
O |
b |
Рис. 4 |
Объём тела, образованного при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке функцией
(рис. 4), определяется формулой
(3)
Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая х через у как обратную функцию, можно получить формулу для объёма тела вращения:
,
где - область изменения функции
Рассмотрим примеры вычисления объёмов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.
Пример 1. вокруг оси Ох.
Решение: Искомый объём равен разности объёмов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно и
. Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых:
и
. По формуле (7.12) получаем
Пример 2. вокруг оси Оу.
Решение: Выражаем х через у: ; промежуток интегрирования
. Объём тела вращения (рис.5) равен разности объёмов соответственно цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой
. По формуле нахождения объёма при вращении тела вокруг оси Oy получаем
Рис. 5 |
X |
Y |
e |
y=ex |
4. Основные свойства определённого интеграла
1. По определению полагаем
(1)
как определённый интеграл нулевой длины.
Также по определению полагаем, что
= -
(2)
поскольку при движении от b к a все длины частичных отрезков имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).
2. Для любых чисел a, b и с имеет место равенство
=
+
. (3)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
=
. (4)
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определённых интегралов:
=
. (5)
4. Вычисление определённых интегралов.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 443 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!