Алгоритм нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции

2. Найти производную функции

3. Приравнять производную к нулю и найти критические точки функции

4. Отметить критические точки на области определения

5. Вычислить знак производной в каждом из полученных интервалов

6. Выяснить поведение функции в каждом интервале

7. Учитывая поведение функции, определить точки максимума и точки минимума.

Пример 1: Определите точку максимума функции: .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

2. Теперь найдем производную от функции.

3. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

4.

-2

х

-

-

+

+

Вынесем полученные результаты на числовую прямую, и определим знак в каждом полученном промежутке.

Видно, что у функции единственный максимум, это точка х = 0 (в ней происходит смена знаков с «+» на «-»).

Ответ: х = 0.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение: 1) Находим область определение функции: ℝ.

2) Находим производную функции и ее критические точки:

;

: , ⇒ , ;

- не существует: таких точек нет.

3) Определяем знак :

Таким образом,

– точка минимума функции ,

– точка максимума функции ,

Ответ: , .