Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая)

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

• алгебраические:
• степенная;
• рациональная.
• трансцендентные:
• показательная и логарифмическая;
• тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Постоянная функция.

Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

Графиком постоянной функции у = b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; b) на оси ординат. На рисунке изображены графики нескольких постоянных функций. В частности, графиком функции y = 0 является ось абсцисс.

Если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = kх.

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция y = x ⁿ , x > 0.

Заметим, что для натуральных n степенная функция определена на всей числовой оси.
Для произвольных вещественных n это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

Показательная функция — математическая функция , где a называется «основанием», а x — «показателем» степени.

• В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
• В самом общем виде — u^v, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Функция y = log_a х (где а > 0, а $$\ne$$1) называется логарифмической.

Построение графиков. График логарифмической функции log _aх можно построить, воспользовавшись тем, что функция log _aх обратна показательной функции y = a^x. Поэтому достаточно построить график функции y = a^x, а затем отобразить его симметртрично относительно прямой у = х.

Свойства функции у = logaх, a > 1: не является ни четной, ни нечетной; возрастает на не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; выпукла вверх; дифференцируема.	Свойства функции у = l ogaх, 0 < a < 1: не является ни четной, ни нечетной; убывает на не ограничена сверху, не ограничена снизу; нет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; выпукла вниз; дифференцируема.
Свойства функции у = ln х: не является ни четной, ни нечетной; возрастает на не ограничена сверху, не ограничена снизу; не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; непрерывна; выпукла вверх; дифференцируема.