![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Обратная матрица
Для каждого числа существует обратное число
такое, что произведение
. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.
Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице
, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:
.
Только квадратная матрица может иметь обратную, однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.
Определение. Матрица является невырожденной (неособенной), если
, в противном случае при
матрица
называется вырожденной (особенной).
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной (неособенной) и вычисляется по формуле
,
где - присоединенная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, т.е.
.
Необходимость. Пусть матрица имеет обратную
, т.е.
. По свойству 10 определителей имеем:
, т.е.
и
.
Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка
, называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы
, транспонированной к
. Тогда элементы произведения матриц
определяются по правилу умножения матриц. Поэтому матрица В является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы. А произведение
на
равно той же матрице В:
.
Единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют еще матрицы и
такие, что
и
, где матрица
получена по формуле
и выполняются равенства
и
. Тогда, умножая на
слева первое из них, получаем:
, откуда
, т.е.
. Аналогично, умножая второе равенство на
справа, получаем
. Единственность доказана.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 941 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!