Система линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида.

Здесь — неизвестные, которые надо определить. Коэффициенты системы и её свободные члены предполагаются известными. Индексы коэффициента системы обозначают номера уравнения и неизвестного , при котором стоит этот коэффициент.

Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, , иначе — неоднородной.

Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных.

Решение системы уравнений — совокупность чисел , таких что подстановка каждого вместо в систему обращает все её уравнения в тождества.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. Совместная система может иметь одно или более решений.

Решения и совместной системы называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Теорема Кронекера–Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. .

Замечание. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

.