Линейная зависимость векторов (линейные комбинации четырех векторов)

Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему Следовательно, вся система линейно зависима (Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией.По система является линейно зависимой. На основании сказанного дадим другое определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по векторам этой системы.

14) Скалярное произведение двух векторов: геометрические и алгебраические свойства скалярногo.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

(переместительное свойство)

(сочетательное относительно числового множителя свойство)

(распределительное относительно суммы векторов свойство)

, если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами

И , то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

.

Геометрические свойства скалярного произведения векторов.

1. Два вектора называют ортогональными, если скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е.

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно, а тупой угол - тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

15) Скалярное произведение двух векторов: выражение скалярного произведения в декартовой системе координат.

16) Векторное произведение двух векторов: геометрические и алгебраические свойства векторного произведения.

Три некомпланарных (не лежащих в одной плоскости) вектора a, b и c взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.

Вектор называется векторным произведением неколлинеарных векторов и , если:

1) его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними:

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) векторы , , (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается (или ).

Алгебраические свойства векторного произведения

;

;

.

Геометрические свойства векторного произведения

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и

Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка — правая, а — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

Если — какой-нибудь вектор, — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости вектора справедлива формула

17) Векторное произведение двух векторов: выражение векторного произведения в декартовой системе координат.