Теорема Крамера

Доказательство. Пусть A - основная матрица системы (4.4), ∆ - ее определитель (главный определитель системы), X - столбец из ее неизвестных и B – столбец свободных членов системы. Тогда уравнение AX = B представляет собой матричную запись системы. Так как по условию теоремы A - невырожденная матрица, то она имеет обратную Умножим обе части равенства

Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. По теореме обратная матрица находится по формуле

где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.