Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов

При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:

Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:

Аналогично,

.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:

Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.

Получили уравнение:

Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:

,

Вернемся к исходной переменной:

,

Отсюда:

,

Ответ:,

С решением логарифмических уравнений остальных типов мы познакомимся в следующей статье.

№46

а^f(х) < а^g(х) (а^f(х) > а^g(х) )

Если а > 1, функция у=возрастает на R, то f(x) < g(x)

(f(x) > g(x))

Если 0<a< 1, функция у= а^t убывает на R, то f(x) > g(x)

(f(x) < g(x))

Некоторые показательные неравенства заменой а^х =t сводится к квадратным неравенствам, которые решают, учитывая, что t >0 (т.к. а^х > 0)

Алгоритм решения показательных неравенств:

1. Приводим обе части неравенства к одинаковому основанию (или заменой а^х =t приводим неравенство к квадратному);

2. Учитываясвойства монотонности показательной функции переходим на неравенства вида:

3. f(x) < g(x) (f(x) > g(x))

4. Решим полученное неравенство;

5. Ответ напишем в виде числового промежутка

Учитель показывает решения неравенств, составленных по I варианту самостоятельной работы, обращая при этом внимание на оформление примеров^.

1) 0,3 ^3-2х > 0,09,

0,3 ^3-2х > 0,3²,

т.к. 0 < 0,3 < 1,функция у = 0,3^t убывает на R,то

3-2х < 2,

-2х< -1,

х > 1/2.

Ответ: (1/2; ¥).

2) 3^х-2 - 3^х-3 < 2,

3^х (1/9 – 1/27) < 2,

3^х _*2/27 < 2,

3^х< 27

3^х < 3³

т.к. 3 > 1,функция у= 3^х возрастает на R, то х < 3.

Ответ: (- ¥;3)

3) 8^х£3^х

т.к.3^х>0, то 8^х/3^х<1,

(8/3)^x £ (8/3)⁰

т.к. 8/3>1, функция y=(8/3)^x возрастает на R, то x£0

Ответ (- ¥; 0]

4) 25^х +4_*5^х³0

(5^х)²+4_*5^х-5³0

Пусть 5^х= t, t >0;

Решим неравенство методом параболы.

Введем функцию f(t)=t²+4t-5. Графиком функции является парабола, ветви

которой направлены вверх.

f(x)=0, t²+4t-5=0.

t₁=5, t₂=1

f(t)³0 при t³1 или t£ -5

t£ -5, не удовлетворяет условию t>0,

t³1, то 5^x>1,

5^x³5^0,

т. к 5>1, функция y=5^x возрастает на всей области определения, то x³0

Ответ:[0;¥)