Параллельное проектирование вектора в пространстве

Проекция точки на плоскость

Проецирование точки на плоскость производится способом аналогичным проецированию точки на прямую в плоскости. Проекцией точки A на плоскость α в направлении вектора называется точка пересечения плоскости и прямой, проведенной через эту точку в направлении проецирования (рис. 7, а).

а) б)

Рис. 7

Проекция вектора на плоскость

Проекцией вектора на плоскость α называется вектор (рис. 7, б), где точки и являются проекциями точек и соответственно.

Проекция вектора на прямую

Спроектировать вектор на прямую в пространстве аналогично тому, как это можно сделать на плоскости, нельзя.

Рис. 8

Для начала спроектируем вектор по направлению на некоторую плоскость, проходящую через прямую L. На рис. 8 эта плоскость обозначена α. Затем, полученную таким образом проекцию , спроектируем по направлению (вектор лежит в плоскости α) на прямую L. В результате получим вектор , который и принимают за проекцию вектора на прямую. Из построения очевидно, что проекция вектора не зависит от положения проецируемого вектора в пространстве. Проще говоря: равные векторы имеют и равные проекции. Если бы это было не так, мы не имели права говорить о проекции вектора вообще.

Вектор (проекция вектора на ось L) можно получить и более простым способом. В самом деле, точка является точкой пересечения плоскости, проходящей через точки , и и прямой L. Плоскость же, проходящая через эти точки параллельна векторам и . Назовем плоскость параллельную направлениям проецирования и проецирующей плоскостью.

Следовательно, можно дать следующее определение проекции вектора на прямую в пространстве.

Определение (14)

Проекцией вектора на прямую L по направлению проецирующей плоскости α называется вектор, . Точки и при этом являются точками пересечения прямой L и плоскостей, проведенных через точки и параллельно проецирующей плоскости.

Обозначение

Для обозначения проекции вектора на прямую будем использовать следующее обозначение: или .

Проекция вектора на прямую – величина векторная. Совершенно аналогично тому, что мы имели на плоскости, и для пространственного случая мы можем ввести понятие алгебраического значения проекции вектора на направленную ось. Для обозначения алгебраического значения проекции мы будем (так же как и в "плоском" случае) использовать то же самое обозначение, только без "векторной" черты сверху: или . И, что очень приятно, теорема (1), которую мы доказали для "плоского" случая, справедлива и для обеих проекций в пространстве:

1. ;	(1*)
2. .	(2*)

Доказательство полностью аналогично тому, что мы привели для случая на плоскости.