Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид

ax = b,

(1)

где a > 0, a ≠ 1.

Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = log _ab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Пример 1. Решить уравнения:

a) 2 ^x = -4, b) 2 ^x = 4, c) 2 ^x = 5.

Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения положительна при любом x  R (см. свойства показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.

b) Используя утверждение 1 получим x = log₂4, то есть x = 2.

c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log₂5.

Замечание. Из утверждения 1 следует что показательное уравнение вида

af (x) = b,

(2)

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению

f (x) = log _ab.

Пример 2. Решить уравнения

a) b) c) .

Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1

Так как , следовательно , откуда

b) Поскольку log₃9 = 2, данное уравнение равносильно следующему уравнению

| x ²- x | = 2.

Используя свойства модуля (см., например, [1]) получим

| x 2- x | = 2			x 2- x = 2,			x 2- x -2 = 0,			x = -1,
x 2- x = -2,	x 2- x +2 = 0,	x = 2.

c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

(2+4+6+...+2 x) = 45 sau 1+2+...+ x = 45.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии получим уравнение

или

x ²+ x -90 = 0

корни которого x ₁ = -10 и x ₂ = 9. Поскольку x  N, остается x = 9.

При решении показательных уравнений используется следующее утверждение о равносильности уравнений (см., например, [2]).

Утверждение 2. При a > 0, a ≠ 1, уравнения

a f (x) = a g (x)

(3)

и

f (x) = g (x)

равносильны.

Замечание. Уравнение вида

a ^{f (x)} = b^{g (x)} (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

можно переписать следующим образом

и решить, используя утверждение 2.

Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида (1)-(3) с помощью равенств

E1) a^x · a^y = a^{x + y} , E2) E3) (a^x) ^y = a^{x · y} , E4) E5) a^x · b^x = (ab) ^x.

Пример 3. Решить уравнения

a)	c)
b)	d) 32 x -1 = 7 x +1.

Решение. a) Используя равенства E1-E3 и утверждение 2 получим

 3^{2 x +1+2(x +2)-3 x} = 3⁵  2 x +1+2 x +4-3 x = 5  x = 0.

b) Так как (ab ≠ 0), то Используя свойства E4, E3 и E1, получим

откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное уравнение

2 x ²- x -15 = 0

корни которого x = 3 и x = -⁵/₂.

c) Так как 4^{3 x +1} = 4¹·4^{3 x} = 4·(4³) ^x = 4·64 ^x, , то уравнение примет вид

4·64 ^x ·25 ^x = 6400

или

64 ^x ·25 ^x = 1600.

Используя свойство E5 и утверждение 2 получим 1600 ^x = 1600, откуда x = 1.

d) Используя замечание к утверждению 2, получим

,

откуда

2 x -1 = x log₃7+ log₃7

или

x (2-log₃7) = log₃7+1.

Решая данное линейное уравнение получим

Показательные уравнения вида

F (a f (x)) = 0,

(4)

посредством подстановки t = a ^{f (x)} сводятся к уравнениям вида

F (t) = 0,

которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения вида

A · a 2 f (x) + B · a f (x) + C = 0,	(5)
A · a f (x)+ C · a - f (x)+ B = 0

(A, B и C  R), которые с помощью подстановки t = a ^{f (x)} сводятся к уравнению

At ²+ Bt + C = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) 2 ^x +3·2 ^{x -4} = 76, b) 3^{- x} +9· 3 ^x +9 ^{x +1}+9^{- x -1}=8, c)

d) 2^{1+ x} -2^{3- x} = 15, e)

Решение. a) 2 ^x +3·2 ^{x -4} = 76  Обозначая t = 2 ^x получим линейное уравнение

16 t +3 t = 76·16,

откуда t = 64. Таким образом 2 ^x = 64 и x = 6.

b) Перепишем уравнение в виде

Обозначая t = 3 ^x (тогда 9 ^x = t ²) получим алгебраическое уравнение

которое (см., например, [1]) подстановкой

() сводится к квадратному уравнению

или

z ²+9 z -90 = 0,

откуда z ₁ = -15, z ₂ = 6. Поскольку t > 0, z ₁ = -15 не удовлетворяет условию и остается

откуда

9 t ²-6 t +1 = 0

следовательно t = 1/3. Таким образом 3 ^x = 1/3, откуда x = -1.

c) Обозначим , тогда В результате получим квадратное уравнение

t ²- t -2 = 0

корни которого t ₁ = -1 и t ₂ = 2. Поскольку t > 0 (вообще говоря, из условия x ² ≥ 0 следует, что ), остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение

откуда x ² = 1 и следовательно x = 1.

d) Так как 2^{1+ x} = 2·2 ^x, , то после подстановки t = 2 ^x, уравнение примет вид

Умножив обе части уравнения на t (t > 0), получим квадратное уравнение

2 t ²-15 t -8 = 0

корни которого и t ₂ = 8. Поскольку t ₁ < 0, остается

2 ^x = 8,

откуда x = 3.

e) Обозначив (при x  (-,0] [2,+), x ²-2 x ≥ 0 и следовательно t ≥ 1), получим уравнение

4 t ²-9 t +2 = 0

корни которого t ₁ = 1/4 и t ₂ = 2. Поскольку t ₁ < 1, остается решить уравнение

равносильное уравнению

Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при x  (-;0][2;+) получим равносильное уравнение

x ²-2 x = 1,

корни которого .

Уравнение вида

A · a ^{2 f (x)} + B · a ^{f (x)} b ^{f (x)} + C · b ^{2 f (x)} = 0,

(A, B, C  R, A · B · C ≠ 0) называется однородным показательным уравнением. Разделив обе части этого уравнения например на , получим квадратное уравнение

At ²+ Bt + C = 0,

где .

№45

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма).

Простейшее логарифмическое уравение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

или

,

в зависимости от того, какое неравенство или проще.

Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:

,

то мы переходим к системе:

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду

или

Пример. Решим уравнение:

Решение.

Выпишем ОДЗ уравнения: