Математичний апарат імпульсних систем (різниця ґратчастих функцій, різницеві рівняння)

Аналогом первой производной для решетчатой функции является либо первая прямая разность:

,

либо первая обратная разность:

Аналогов второй являются вторые разности. Прямая:

и обратная:

По аналогии могут определяться и высшие разности:

.

,

где:

Очевидно, что если определена только для положительных , то для все обратные разности равны нулю.

Аналогом интеграла непрерывной функции для решетчатой является неполная сумма:

,

и полная сумма:

.

Разностные уравнения Аналогом дифференциальных уравнений для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):

,

Разностное уравнений может быть составлено и в прямых разностях. Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:

(1)

где

,

Разностные уравнения легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.

Учтем запаздывание передаточной функцией звена чистого запаздывания и вынесем теперь уже изображение дискретной последовательности в уравнении (1) за скобку:

,

введем обозначение и перепишем уравнение:

.

Решая это уравнение, для чего его левая часть приравнивается к нулю, можно получить общее решение, т.е. переходную составляющую в виде:

.

где: — корни выражения в скобках; а — произвольные постоянные.

Вид решения левой части определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью разностных уравнений:

.