Замечание 3

В среде МАТЛАБ реализованы две процедуры Рунге-Кутта:

ode23 – метод второго и третьего порядка

и ode45 - метод четвертого и пятого порядка.

В лабораторной работе 7 предусмотрено знакомство с этими командами.

41.Постановка краевой задачи для ОДУ второго порядка:

(1)

Задача называется краевой, так как заданы два краевых условия.

Отличие от задачи Коши: в задаче Коши все дополнительные условия даются в одной точке, в краевой задаче - в разных точках. Иногда можно привести краевую задачу к типу задач Коши. Встает проблема: как использовать граничное условие на правом конце?

Пусть дана сетка - шаг сетки.

Аппроксимируем на сетке производные с порядком :

;

Подставив данные соотношения в (1) получим:

.

Умножим все на , тогда получим следующую запись системы:

, где

(2)

и симметричны относительно 1.Надо с той же точностью аппроксимировать граничные условия: первого рода: второго рода:

третьего рода:

Аппроксимация граничных условий:

1) на левом конце отрезка:

Выражаем :

А из уравнения (1): .

После подстановки и приведения подобных слагаемых, получаем:

2) аналогично поступаем с краевым условием на правом конце отрезка. В итоге получаем неявную схему (2’)

Таким образом, получили трех диагональную систему, которая решается прогонкой.

47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.

Рассмотрим снова краевую задачу для ОДУ 2-го порядка (1).Удобно представить оператор таким образом, чтобы он включал в себя краевые условия:

(3)Þ задача (3) запишется в виде (3’)

Определение1. Говорят, что задача (3) аппроксимирована на сетке с порядком , если

,(4)где - точное решение на сетке, -сеточное решение задачи (3), - сеточная норма. Заметим, что по определению сеточное решение .

С другой стороны, , т.к. при подстановке точного решения в левую часть сеточного уравнения системы (3), получим несколько иную сеточную правую часть. Поэтому, обозначив - “невязка”, из (4) Þ - по условию аппроксимация порядка p. Итак (5)

Определение2. Пусть - невозмущенная задача на сетке, (6) - возмущенная задача, причем .Разностная схема (6) устойчива “в целом”, если малое изменение “правой части” приводит к малому изменению решения, т.е. если где с₂ не зависит от h.

Пример1. Пусть в задаче Коши функция f(x,u) линейна по переменным.

Приведем к каноническому виду одношаговый итерационный процесс. После аппроксимации производной y’ на сетке w_h в точке (x_n,y_n), получаем

(7)

К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже y_n – вектор, R_h – матрица.

Пример2. Приведем к такому же виду краевую задачу (3).

Введем векторы: и матрицу (3) переписывается в виде

(8)

При таком преобразовании можно исследовать отдельно устойчивость по правой части и устойчивость по граничным условиям.

Теорема1. (Необходимый и достаточный признак устойчивости процедуры (8) по правой части). итерационная процедура устойчива по правой части тогда и только тогда, когда ,

где с не зависит от h (т.е. от N)Однако, это условие не всегда легко проверить. Поэтому для конкретных итерационных схем вырабатываются и доказываются конкретные достаточные условия. Таковы, например, условия “благонеявного преобладания” для схем прогонки.

Теорема2. (Необходимый спектральный признак устойчивости).

Пусть - собственные числа оператора R_h. Для устойчивости схемы (8) по правой части необходимо выполнение условия: ,(9)

причем константа не зависит от h (от N). Пусть (9) не выполняется для некоторого собственного значения . То есть, не существует такой константы , для которой (9) выполнялось бы для данного . Фактически, это означает, что вместо линейного ограничения имеем: , где 0<d<1,c₁-некоторая константа.Пусть - соответствующий собственный вектор, т.е. Оценим по сеточной норме: .Из последнего неравенства следует:

Заметим, что по условию на a, поэтому т.е. нарушается условие устойчивости, сформулированное ранее. Происходит экспоненциальный рост ошибки.

Рассмотрим снова сеточное уравнение вида (6)

Теорема 3. (О сходимости разностной схемы (6)).Пусть конечно-разностная задача (6) однозначно разрешима, аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p относительно h и устойчива. Тогда имеет место сходимость: ,

где - решение сформулированной разностной задачи; - точное решение дифференциальной задачи, взятое на сетке.При этом, если выполняется условие ,то говорят, что имеет место сходимость порядка p. Согласно условию теоремы имеет место аппроксимация порядка p:

(10) (11)

- невязка, которая получается при подстановке точного решения в левую часть уравнения. Подставляя в (10): (12)В возмущенном уравнении

в качестве возмущения выберем невязку, т.е. положим , тогда . (13)

В силу старого определения устойчивости имеем: .(14)

Уравнения (11) и (13) имеют одинаковые правые части. В силу однозначной разрешимости задачи (6), имеем: ,подставим в (14)

Таким образом, мы одновременно доказали сходимость и установили, что порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.